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高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案
（选自西北工业大学2005级高数考题）
一、填空题（每小题3分，共36分） ?1?1.lim??1??x???xy??y??x?1??1??lim??x???xy??y??xy?1y??1???lim??1??x???xy???y???xy????limx??y??1y?e? 1 .
012.函数z?z(x,y)由方程exz?sinyx?0确定，则
?z?y??FyFz??xcosxexzyx??cosxe2yxzx .
3.设函数u?lnx?y?z222，则它在点M0(1,?1,1)处的方向导数的最大值为
33.
4.设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a??5.
1225.空间曲线
1y2?2x,z2?1?x在点(,1,2)处的切线方程为
x?2?y?1?11z??22 .
12202x?x026.改变积分次序：I??dx?f(x,y)dy?
?10dy?21?1?y21?1?y2f(x,y)dx .
127.设平面曲线L为下半圆周y??1?x2，则?(x?y)ds?L2?L1?ds??1??? .
28.设?为曲面z??e?x,9.设f(x)???1,12(1?e) .
?22x?y在0?z?1的部分，则??xdS? 0 .
????x?00?x??,则其以2?为周期的傅里叶级数在x??处收敛于
10.设y1,y2,y3是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为 C1(y1?y2)?C2(y2?y3)?y1 .
y1?y2y2?y3?常
1
11.函数f(x)?12?x1x?展开为x的幂级数的形式为?n?0x12xn?1nx?(?2,2) .
12.微分方程y??y?xe的通解为 Cx?xe .
x二、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设z?f(yx,exy)，y??(x)，其中f,?均为一阶可微函数，求dzdx?f1??y?x?y2xy?f2??e(y?xy?)
dzdx.
解：
?f1??2.求曲面z?4?1222xx??(x)??(x)x2xy?f2??e(?(x)?x??(x))
(x?y)与平面z?2所围立体的体积.
解：所围立体在xoy面的投影域D:x2?y2?4，所围立体的体积
12?2[4?(x?y)]??2?2 V???D1?2?dxdy?2??dxdy?2?D??D(x?y)dxdy
22 ?2?2??1?22?0d??20rrdr?8??4??4?
23.在曲面x2?2y2?3z2?66上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面
x?y?z?1平行.
解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令
F(x,y,z)?x?2y?3z?66，
222则切平面的法向量
n?(Fx,Fy,Fz)M?(2x,4y,6z), 已知平面x?y?z?1的法向量
? n1?(1,1,1) ??依题意n//n1，即
?
2x1?4y1?6z1令?t
代入曲面方程中解的x?6,y?3,z?2，即切点坐标为M(6,3,2). 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设?是由锥面z?
x?y22与半球面z?1?x?y2
22围成的空间区域，?是?的整个
边界的外侧，求曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy.
?解：已知P(x,y,z)?x，Q(x,y,z)?y，R(x,y,z)?z，由高斯公式有
?P?x?Q?y?R?z???xdydz?ydzdx?zdxdy?????(??)dv
?3???dv?3??2??0d??40d??rsin?dr
012?3?2??(1?1232222?)?13?(2?2)?
2.写出级数??523724??的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.
2n?12n解：该数项级数的通项为un? limun?1un；级数为正项级数，由于
n???limn??12n?11??， 22n?12由比值审敛法知该级数收敛.令
??n?n?1s(x)??(2n?1)xn?1?2x?nxn?1??xn?1n?2xs1(x)?s2(x)x?(?1,1)，
则
?于是
x?0s1(t)dt???n?1x?0ntn?1dt??n?1xn?x1?x，
d?x1??s(t)dt s1(x)?， 1???0?(1?x)2dx?又
?s2(x)??n?1xn?x1?x，
所以
s(x)?2x(1?x)2?x1?x?x?x22(1?x)x?(?1,1)，
于是
s()?21??(2n?1)2n?11n?x?x2????3. 2??(1?x)?x?12 3