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11752 管理数量方法与分析 黑体字 串讲讲义 第一章 数据分析的基础 一、数据集中趋势的度量： ●平均数： 全体数据的和
数据的个数x1?x2???xn1nx???xi，其中数据为xi,i?1,2,?n
nni?1（组中值?频数）的和②分组数据的加权平均数?
频数的和①n个数据的算术平均数=
yiviv1y1?v2y2???vmymi?y???1mv1?v2???vm?vii?1m，
其中m为组数，yi为第i组的组中值，vi为第i组频数。
优点：平均数容易理解，计算；它不偏不倚地对待每一个数据；是数据集的“重心”
缺点：对极端值十分敏感。
【例题】如果一组数据分别为10,20,30和x，若平均数是30，那么x应为 A．30 B．50 C．60 D．80 【答案】选择C
10?20?30?x?30?x?604【解析】考察的知识点为平均数的计算方法。
【例题】某企业辅助工占80％，月平均工资为500元，技术工占20％，月平均工资为700元，该企业全部职工的月平均工资为【 】
A．520元 B．540元 C．550元 D．600元 【答案】选择B
【解析】考察的知识点为加权平均数的计算方法。500?80%?700?20%?540 ●中位数：将数据按从小到大顺序排列,处在中间位置上的一个数或最中间两个数的平均数。 若n为奇数，则位于正中间的那个数据就是中位数，即xn?1 就是中位数。
2xn?xn若n为偶数，则中位数为
22?12就是中位数。
优点：中位数对极端值不像平均数那么敏感 缺点：没有充分地利用数据所有信息 【例题】八位学生五月份的伙食费分别为(单位：元) 360 400 290 310 450 410 240 420则这8位学生五月份伙食费中位数为 【 】 A．360 B．380 C．400 D．420 【答案】B
【解析】共有偶数个数，按从小到大排列后，第4位数360与第5位数400求平均为380 ●众数：数据中出现次数最多的数。
优点：它数据也有意义；它能够告诉我们最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等产品特征。
缺点：一组数据可能没反映了数据中最常见的数值，不仅对数量型数据(数值)有意义，对分类型有众数，也可能众数不唯一。 【例题】对于一列数据来说，其众数( ) A.一定存在 【答案】B
【例题】数列2、3、3、4、1、5、3、2、4、3、6的众数是__________。 ●平均数，中位数和众数的大小关系： 频率直方图是单峰对称：平均数=中位数=众数 频率直方图是左偏分布：众数<中位数<平均数 频率直方图是右偏分布：平均数<中位数<众数
众 数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标 。
B.可能不存在
C.是唯一的
D.是不唯一的
平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和。
中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标。 四、数据离散趋势的度量： ●极差R=max-min。 优点：容易计算
缺点：容易受极端值的影响 ●四分位极差=Q3-Q1。
第2四分位点Q2=全体数据的中位数；
第1四分位点Q1=数据中所有≤Q2的那些数据的中位数； 第3四分位点Q3=数据中所有≥Q2的那些数据的中位数。 优点：四分位极差不像极差R那样容易受极端值的影响 缺点：没有充分地利用数据所有信息
●方差：反映数据离开平均数远近的偏离程度。
1n1222n个数据的方差：???(xi?x)?(?xi)?(x)
ni?1n21m1222分组数据的方差：???vi(yi?y)??(yivi)?y
ni?1n其中m, y, v同上, n是数据的个数,y是分组数据的加权平均数。
2i
i
●标准差： ???2 (方差的算术平方根，与原来数据的单位相同)
●变异系数：v??x(%) (反映数据相对于其平均数的分散程度)
两组数据的平均数不同或两组数据的单位不同时用。 【例题】为了调查常富县2002年人均收入状况，从该县随机抽取100人进行调查，得到年人均收入的数据如下（单位：万元）： 人数 年人均收入 0－0.5以下 36 根据上述分组数据，回答下面的问题： 0.5－1.0以下 23 画出收入分布的直方图，并说明分布的形状（5分） 1.0－1.5以下 21 计算该样本的年人均收入及标准差（6分） 1.5－2.0以下 10 收入最高的20%的人年均收入在多少以上？（3分） 【答案】1. 2.0－2.5以下 5 2.5－3.0以下 3 人数 3.0－3.5以下 2 频数 40 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 年人均收入 2. 由直方图，可见随着年人均收入的增加，人数在逐渐下降。 m年人均收入 人数 组中值 ?yivi0－0.5以下 36 0.25 i?1 年人均收入y?m 0.5－1.0以下 23 0.75 ?vi1.0－1.5以下 21 1.25 i?11.5－2.0以下 10 1.75 2.0－2.5以下 5 2.25 2.5－3.0以下 3 2.75 3.0－3.5以下 2 3.25 ?0.25?36?0.75?23?1.25?21?1.75?10?2.25?5?2.75?3?3.25?2100 =0.96
221m122 方差???vi(yi?y)??(yivi)?y=0.5559
ni?1n 标准差x?z??2n=0.75
3. 收入最高的20%的人年均收入在1.5万元以上
【解析】本题考察的知识点为第一章的基本知识： 直方图的画法，分组数据的均值和方差的求法。
【例题】在一次知识竞赛中，参赛同学的平均得分是80分，方差是16，则得分的变异系数是( ) A.0.05
B.0.2
C.5
D.20
【答案】A. 【解析】根据变异系数公式：v??x，得出4/80=0.05
四、相关分析： ●相关关系：变量之间存在不确定的数量关系 1.线性相关：变量的关系近似线性函数；
不完全正线性相关 不完全线性相关
不完全负线性相关
完全正线性相关
完全线性相关
完全负线性相关 1.非线性相关：变量的关系近似非线性函数； 完全非线性相关
不完全非线性相关
3.不相关：变量之间没有任何规律。
●简单相关系数：(x1,y1),?,(xn,yn)是总体(X,Y)的n对观察值
r??(xi?x)(yi?y) 或
?(x2i?x)??(yi?y)2r?n?xiyi??xi?yi记?Lxyn?x2?(?x222ii)?n?yi?(?yi)Lxx?L
yy r反映两个变量之间线性相关的密切程度，|r|≤1。
r=-1 完全负相关 r=1 完全正相关 -1≤r<0 负相关 0
10．当所有观察点都落在回归直线y=a+bx上，则x与y之间的相关系数为（ A．r=0
B．r2
=1
C．-1 第二章 概率与概率分布 （二）、重难点串讲 一、随机试验与随机事件： ●随机试验： 1.可以在相同的条件下重复进行； 2.试验的结果不止一个，但所有可能的结果在试验之前都知道； 3.每次试验之前，不知道这次试验出现哪个结果。 ●样本空间Ω： 1.随机试验中每个可能的结果,称为一个基本事件(或样本点)； 2.基本事件的全体所组成的集合称为样本空间(是必然事件)； 3.若干个样本点组成的集合(即样本空间的子集)，称为随机事件(简称事件)；事件A发生?A中一个样本点出现； 4.不含任何样本点的事件是不可能事件?。 ●样本空间的表示方法：列举法, 描述法。 二、事件的关系和运算 ●事件的运算 ） 1.并A∪B：A发生或B发生（或A,B至少有一个发生）的事件,常记作A+B。 2.交A∩B：A,B同时发生的事件，常记作AB。 3.差A－B：A发生，但B不发生的事件。 互斥事件：事件A，B中若有一个发生，另一个一定不发生(即AB=?)，则称 事件A,B 互斥，否则称A,B相容。 对立事件：若事件A,B互斥,且A∪B是样本空间(即AB=?，A+B=Ω),则称 事件A,B 对立(或互逆)。 A的对立事件记作A，A表示A不发生 (A A=?, A+ A=Ω)。 例：A、B、C三个事件中，只有一个发生可以表示成： ABC?ABC?ABC 一个常用的等式：A-B=A-AB=AB ●运算律： 交换律：A∪B=B∪A, AB=BA； 结合律：(A+B)∪C=A∪(B∪C), (AB)C=A(BC)； 分配律：(A+B)C=AC+BC, (AB)∪C=(A∪C)(B∪C)； 对偶律：A?B?AB，AB?A?B。 【例题】A与B为互斥事件，则AB为( ) A.AB B.B C.A D.A+B 【答案】C 【解析】可画事件图或根据A =AB+AB,又AB=?推出A =AB 【例题】设A、B为两个事件，则A-B表示( ) A.“A发生且B不发生” B.“A、B都不发生” C.“A、B都发生” D.“A不发生或者B发生” 【答案】A 三、概率的定义： ●事件A发生的频率的稳定值称为A的概率，记作 P(A)(0≤P(A)≤1)。 ●概率的性质：0≤P (A)≤1, P(?)=0, P(Ω)=1。 【例题】设A、B为两个事件，P(A)=0.5，P(A-B)=0.2，则P(AB)为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】B 四、古典概型： ●古典概型：若随机试验的样本空间只含有限个样本点,且每个样本点发生的可能性相同, 则P(A)= A所含样本点个数样本点总数。 ●排列：从n个不同元素中任取r个,按照一定的顺序排成一列, 称为从n个不同元素中任 取r个的一个排列。 所有排列的个数, 称为从n个不同元素中任取r个的排列数,记作Prn。 Prn?n!r!?n?(n?1)(n?2)?(n?r?1) ●组合：从n个不同元素中任取r个,不管怎样的顺序合成一组, 称为从n个不同元素中任 取r个的一个组合。 所有组合的个数, 称为从n个不同元素中任取r个的组合数,记作Crn。 Crn!n?(n?1)(n?2)?(n?rn?r!(n?r)!??1)(n?r)! 显然 P11nn?Cn?n, Cn?1。 【例题】袋中有红、黄、蓝球各一个，每一次从袋中任取一球，看过颜色后再放回袋中，共取球三次，颜色全相同的概率为( ) A．1／9 B．1／3 C．5／9 D．8／9 【答案】选择A 【解析】古典概型。共336种掷法；和为4，共3种可能。故答案为3/36. 五、概率公式： 1.互逆概率：对任意事件A， P( A)=1- P(A)； 2.加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 可以推广到有限个事件的并的情形，如： P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) A、Ｂ互斥，则AB??，P(AB)?0 则P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.8 3.减法公式：P (A-B)=P(A)-P(AB) 特别地, 当A?B时, P(A-B)=P(A)-P(B)； 4.条件概率公式：P(A|B)= P(AB) （P（B）>0） P(B)5.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)≠0； 6.全概公式：设事件A1, A2,?, An两两互斥, A1+?＋An＝Ω,且P(A1)>0, ?, P(An)>0, 则 对任意事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+?+P(An)P(B|An)； 7.贝叶斯公式：条件同上,则对任意事件B (P(B)>0),有 P(AiB)?P(Ai)P(B|Ai)P(AiB)??i?1?i?1P(A|B)=, i=1,2,?,n, P(B)P(B)P(B)i nn（分母中的 P(B) 用全概公式求）。 【例题】北方大学统计系06级3班共有60名同学，至少有2名同学生日相同的概率为（一年按 365天计算）（ ） 60!A. 3656060P365 B. 365606060P365P365 C. D.1?365!36560 【答案】D 【解析】（互逆概率公式）可设A={所有同学生日均不相同}， 则利用古典概型概率计算方法： 60P365 P{至少有2名同学生日相同}=1-P(A）=1? 3656011【例题】如果事件A的概率为P(A)?，事件B的概率为P(B)?，下列陈述中一定正确的是 4411A.P(A?B)?B.P(A?B)?2 2 11D.P(A?B)?C.P(A?B)?4 2 【答案】B 【解析】利用概率的加法公式因为P(A? B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(AB)， 2P(AB)?0，故 P(A?B)?1，选B。 2【例题】如果事件A发生的概率P(A)?0.6，事件B发生的概率P(B)?0.4，并且已知B?A，则P(A|B)?（ ） 0.6 B． 0.4 C． 1 D． 0 【答案】C 【解析】B?A，所以AB=B，利用条件概率公式，P(A|B)?P(AB)?P(B)?1 P(B)P(B)【例题】天地公司下属3家工厂生产同一种产品，3家公司的次品率分别为0.01,0.02,0.015，而3家工厂的日产量分别为2000,1000,2000，则 天地公司该产品的总次品率是（ ） A． 0.015 B． 0.014 C． 0.01 D． 0.02 【答案】B 【解析】全概率公式。 设3家公司分别为i={任取一产品为第i家公司产品}，i=1,2,3 B={产品为次品} 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3) A? 六、事件的独立性 ●若A，B两事件中不论哪一个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件相互独立。P(AB)=P(A)P(B) 若Ａ，Ｂ独立，则P(Ａ｜Ｂ)＝Ｐ（Ａ），Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ） 性质：若Ａ与Ｂ独立，则200010002000?0.01??0.02??0.015?0.014500050005000 A与B、A与B、A与B也独立。