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2014年硕士研究生入学考试试题

考试科目代码： 636 考试科目名称： 数学分析

（如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）

一、求极限（每小题10分，共20分）．

河南科技大学

1. limx?01?x2??ex?e?x?2?1?cos?ln(1?tanx)?． 2. limn??1．

?sinn?kk?1n二（12分）、设函数f(x)在(??,??)上满足方程f(?x)?f(x)，其中??1为常数．证明：若f(x)在x?0连续，则f(x)在(??,??)上恒为常数．

?2z?2z?2z三（14分）、设函数z?z(x,y)具有二阶连续偏导数，并满足方程2?2?2?0．证明：在变换

?x?y?x?y?2w1u?x?y,v?x?y,w?xy?z之下，上述方程变为2?．

2?u四（14分）、证明：函数f(x)?cosx在区间[0,??)上一致连续．

五（15分）、设函数f(x)在(??,??)上二次可微，且对任意x?(??,??)，有f(x)?M0，f??(x)?M2． 证明：对任意x?(??,??)，成立f?(x)?2M0M2．

x???六（15分）、设??0为常数，函数?(x)在(0,??)上有定义，且lim?(x)?1．证明：

x???limx????x?(s)s1??ds?1?．

七（15分）、求曲面积分

??S(x?y?z)dydz?(2y?sin(z?x))dzdx?(3z?ex?y)dxdy，其中S是曲面

|x?y?z|?|x?y?z|?|?x?y?z|?1的外侧．

八（15分）、设p?0，b?a?0为常数，计算无穷积分I????0e?pxsinbx?sinaxdx．

x九（15分）、证明：对任意正整数n，存在惟一正实数xn满足

?并且limxn?1．

n??xn0?un?e?ucosu?du?2，

??2十（15分）、设正项级数上收敛但非一致收敛．

证明：函数项级数??an收敛，an?0，rn??ak，n?1,2,?．

n?1k?n???an在x?(??,1)xn?1rn?第1页（共1页）