内容发布更新时间 : 2024/5/1 19:51:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习 题 四
4.1. 若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a = xm，则称这个群为循环群。若群的元素交换律成立，即a , b G满足 ab = ba
则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。
[证].设循环群(G, )的生成元是x0?G 。于是，对任何元素a , b G，m，n?N，使得a= x0m , b= x0n ,从而 ab = x0m x0n
= x0m +n (指数律)
= x0n +m (数的加法交换律)
= x0n x0m (指数律) = ba
故 运算满足交换律；即(G, )是交换群。
4.2. 若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：
2m-1
C={e,x,x, ,x} 是G的一个子群。 [证].(1)非空性C ：因为e?G；
(2)包含性CG：因为x ?G，根据群G的封闭性，可知x2, ,xm-1, (xm=)e?G，故CG；
(3)封闭性a , b C a b C： a , b C，k，l?N (0 k 使a = x , b = x，从而 a b = xk xl = x(k+l) mod mC (因为0 (k+l) mod m < m) ； (4)有逆元a C a -1C： a C，k ?N (0 k a -1 = xm-kC (因为0 m-k < m) 。 综合(1) (2) (3) (4)，可知(C, )是(G, )的一个子群。 4.3. 若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。 [证].对任一元素x?G，设其阶为m，并令C={e,x,x2, ,xm-1}，则由习题4.2.可知(C, )是(G, )的一个子群，故具有包含性CG。因此有 m = |C| ? | G | = n 所以群G的所有元素的阶都不超过n。 4.4. 若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可以表示成a的幂： a,a2, ,an 的元素a的数目。 [证].设(G, )是循环群，a是其一个母元素(生成元)，a的阶为n(也是G的阶)，则 G ={a,a2, ,an(=e) }。 (1).我们来证：对任何自然数r ?N (0< r 为此，只需证ar的阶为n即可。 首先，设ar的阶为k，因此有ark = (ar)k = e，由于a的阶为n，故根据引理*可得n | rk 。已知0< r (ar)n = arn (指数律) = anr (数的加法交换律) =(an)r (指数律) = er = e 。 因而，由k是元素ar的阶，具有最小性，所以k n。 综合这两方面，可得k = n。 (2).根据(1)的结论，可得，群G的母元素的数目为(n) (欧拉函数，小于n且与n互素的数的个数)。 注.引理*.设(G,)是群。?x?G，若x的阶为k，从而xk =e 。则 ?m?N, xm＝e ? k | m 。 [证].先证?)： 若xm＝e，则必有k | m 。 否则k ? m ，于是，由带余除法，可设 m=kq+r (0? r? k)，故可得 r=m-kq，从而 xr＝xm-kq ＝xm+(-kq) ＝xm (xk)-q (指数律) ＝e e-q (xm＝e, xk =e) ＝e e ＝e 故与x的阶为k，具有最小性，矛盾。 次证?): 若k | m，则m = kq。于是 xm ＝ xkq ＝(xk)q (指数律) ＝eq (xk =e ) =e 。 4.5. 试证循环群G的子群仍是循环群。 [证].设(H, )是循环群(G, )=的一个子群，则H中的元素都可表示成a的一些正方幂。设am是H中指数最小的正方幂，我们来证(H, )= 任取H中一个元素ak，根据带余除法，可知有非负整数q及r，使 k=qm+r 且 0r 于是由(H, )构成群，可知(am)qH，从而(am)-qH，于是 ar=ak (am)-qH 由m的选择(最小性)必须有r=0，所以ak=(am)q，这说明(H, )= 4.6. 若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xHyH或为空，或xH = yH。 [证].对任何x,y?G，若xH ? yH=?，则问题已证。 否则若xH ? yH??，则必至少有一元素x0?xH ? yH，从而 x0? xH ? yH ? x0? xH ? x0? yH ? x0=xh1 ? x0 =yh2 (这里h1, h2?H) ? xh1 = yh2 ? x = y h2h1-1 ? y = x h1h2–1 (*) 下面我们来证：xH = yH。为此，要分证： (1)xH ? yH ； (2)yH ? xH ； 我们只证(1) ；(2)同理可证 ； 对任何元素a， a? xH ? a =xh? (这里h??H) ? a = y h2h1-1h? (由(*)：x = y h2h1-1 ) ? a =y h?? (由H的封闭性 ： h??= h2h1-1h??H) ? a? yH 所以 xH ? yH； 所以，由包含关系的反对称性，我们得到 xH = yH 。 4.7. 若H是G的子群，|H|=k，试证： |xH|=k 其中xG。 [证].建立自然映射 f : H?xH，使得 对任何h?H， f(h)=xh。于是 (1)后者唯一：由运算的结果唯一性可得； (2)满射：对任何 b?xH，有a = h?H，使得b = xh。于是，有 f(a)= f(h)= xh = b ； (3)单射： f(h1)= f(h2) ? xh1 = xh2 ? h1 = h2 (群的消去律 )。 所以，f是从H到的双射，因此 |xH|=|H|=k 。 4.8.有限群G的阶为n，H是G的子群，则H的阶必除尽G的阶。 [证].这即是著名的拉格郎日(Lagrange法国著名数学家、力学家1736-1814)定理。 设G的子群H?{e,h1,h2,?,hr?1}。 于是令aH?{a?e?a,a?h1,a?h2,?,a?hr?1}，这里a?G，并且我们定义R是G上的二元关系，即R?G?G x,y?G，xRy::?(?b?G)(x?aH?y?aH)。 从而R是G上的等价关系，其等价块的形式为aH，设其代表元为a1,a2,?,ak，则 a1H,a2H,?,akH是所有的等价块，构成对G的一个划分(参见习题4.6.)。即 ?a2H?????akH G?a1H?根据习题4.7.可得a1H?a2H???akH?H?r。 因此G?kH?kr?n，所以r必能整除n，即H的阶必除尽G的阶。 4.10. 若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有 |Ex| = |Ey| 。 [证].设底基X={1,2,,n}。对任一个元素a?X，Ea ={b?X | p?G , (a)p=b}。 因为已知x和y在群G作用下属于同一等价类，因此，存在z?X，使得x, y?Ez，于是p1, p2?G , 使得 (z)p1=x, (z)p2=y 。 我们来证：Ex = Ey 。为此，要分证： (1) Ex ? Ey ； (2) Ey ? Ex ； 我们只证(1) ；(2)同理可证 ； 对任何元素a?X， a? Ex ? a = (x)p? (这里p??G) ? a = (z)p1p? (由 (z)p1=x ) ? a = (y)p2-1p1p? (由(z)p2=y , 得 (y)p2-1=z (群G有逆元)) ? a = (y) p?? (由群G的封闭性 ： p??= p2-1p1p??G)