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第2讲 空间几何体的表面积与体积

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的

一、选择题

米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

B.22斛D.66斛

( )A.14斛

C.36斛

π16解析 设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝.2π

11π?16?23202

所以米堆的体积为V＝×π·r·5＝·??·5≈(立方尺).

4312?π?9

故堆放的米约有

320÷1.62≈22(斛).9

答案 B

2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )

D.3

C.

32 B.

92A.2

解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3

1213 ＝3，解得x＝3.

答案 D

3.(2017·宁波十校联考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )

D.2 2 C.1＋ 22 B.2＋3 A.1＋3

解析 四面体的直观图如图所示.

侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，

SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.

设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，又SO?平面SAC，平面SAC∩

平面ABC＝AC，

∴SO⊥平面ABC，又BO?平面ABC，∴SO⊥BO.

又OS＝OB＝1，∴SB＝2，

故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2××2×2＋2×1234 ×(2)＝2＋3.

2

答案 B

4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三

棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

1132A.36π B.64π C.144π D.256π

解析 因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最

大值.由×R×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR＝144π.

22

5.(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝

答案 C

2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为( )

B.1∶8D.1∶3

A.1∶2 C.1∶6

解析 设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面

NN′2ABCD，所以PP′∥NN′，则在△BPP′中，由BN＝2PN得＝.PP′3

1V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC＝S△ABC·PP′－

3

111S△ABC·NN′＝S△ABC·(PP′－NN′)＝S△ABC·333111PP′＝S△ABC·PP′，V三棱锥D－PAC＝V三棱锥P－ACD＝S△ACD·PP′，又∵四边形ABCD是平行四边形，393 ∴S△ABC＝S△ACD，∴

V三棱锥N－PAC1＝.故选D.

V三棱锥D－PAC3

2

答案 D

二、填空题

6.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是

________cm，体积是________cm.

3

解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体是底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如右图：其表面积S＝6×2＋2×4＋4×2×4－2×2＝80(cm).体积V＝2×

2

2

2

2

2×2＋4×4×2＝40(cm).

3

答案 80 40

7.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

________.

解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝

12＋12＋（2）2＝2，

4π34π

R＝.33答案 π

解得R＝1，所以V＝

438.(2017·湖州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________；表面积为

________.