内容发布更新时间 : 2024/12/22 2:18:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第六章 近独立粒子的最概然分布

6.1 试根据式（）证明：在体积V内，在?到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

解: 式（）给出，在体积V?L3内，在px到px?dpx,py到py?dpy,px到px?dpx的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

Vdpxdpydpz. （1） 3h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的量子态数为

4πV2pdp. （2） h3上式可以理解为将?空间体积元4?Vp2dp（体积V，动量球壳4πp2dp）除以相格大小h3而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 因此

将上式代入式（2），即得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

132πVD(?)d??3?2m?2?2d?. （3）

h 6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为

解: 根据式（），一维自由粒子在?空间体积元dxdpx内可能的量子态数为

在长度L内，动量大小在p到p?dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为

将能量动量关系 代入，即得

D???d??2L?m???d?. （2） h?2??122Ldp. （1） h 6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在?到??d?的

能量范围内，量子态数为

解: 根据式（），二维自由粒子在?空间体积元dxdydpxdpy内的量子态数为

1dxdydpxdpy. （1） 2h用二维动量空间的极坐标p,?描述粒子的动量，p,?与px,py的关系为

用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为

在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内，动量方向在?到??d?范围内，二维自由粒子可能的状态数为

L2pdpd?. （2） h2对d?积分，从0积分到2π，有

可得在面积L2内，动量大小在p到p?dp范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为

将能量动量关系 代入，即有

2πL2D???d??2md?. （4）

h2πL2pdp. （3） h2 6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 试求在体积V内，在?到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（）已给出在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的状态数为

4?V2pdp. （1） 3h将极端相对论粒子的能量动量关系

代入，可得在体积V内，在?到??d?的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为

D???d??4πV?ch?3?2d?. （2）

6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和

其中?l和?l?是两种粒子的能级，?l和?l?是能级的简并度.

解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?，总能量为E，体积为V时，两种粒子的分布?al?和al?必须满足条件

才有可能实现.

在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布?al?和al?时各自的微观状态数为

Ω?N!?lal,??al!ll?alll?N,?a??N?,lllll????a????a??Ell （1）

??

N?!Ω???l?al?.??al?!ll （2）

系统的微观状态数Ω?0?为

Ω?0??Ω?Ω?. （3）

平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使Ω?0?或InΩ?0?为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得

为求使lnΩ?0?为极大的分布，令al和al?各有?al和?al?的变化，lnΩ?0?将因而有δlnΩ?0?的变化. 使lnΩ?0?为极大的分布?al?和al?必使 即

但这些δal和δal?不完全是独立的，它们必须满足条件

用拉氏乘子?,??和?分别乘这三个式子并从δlnΩ?0?中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个δal和δal?的系数都等于零，所以得 即

al??le?????lal???l?e??????l???. （4）