内容发布更新时间 : 2024/6/18 21:37:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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习 题 三

1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设

?1，第一次摸到红球，?1,第二次摸到红球， X?? Y???0，第一次摸到白球；?0,第二次摸到白球.试求：（1）X和Y的联合分布律；

（2）P?X?Y?.

解 （1） (X,Y)的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1) 下面先算出每一组取值的概率

1，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0. 51第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为1.

5第一次取到白球的概率为因此由乘法定理得

P?(X,Y)}?P{(0,0)??0

11P?(X,Y)?(0,1)???1?

5541，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为. 5443第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为.

54第一次取到红球的概率为因此由乘法定理得

433P?(X,Y)?(1,1)????

545411P?(X,Y)?(1,0)????

545于是所求的分布律为

Y 0 1

X 1 5131

554 （2）P?X?Y?.=P?(0,0)??P?(1,0)??P?(1,1)??

52. 将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出X和Y的联合分布律.

解 由X表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为3?X，所以

0 0

Y?X?(3?X)?2X?3，X的取值为0,1,2,3，Y的取值为3,1,1,3，且X

1

b(3,0.5)

2

于是P?(X,Y)?(0,3)??P?X?0??()?131

2831112P?(X,Y)?(1,1)??P?X?1??C3()?

228113P?(X,Y)?(2,1)??P?X?2??C32()2?

22811P?(X,Y)?(3,3)??P?X?3??()3?

28而(X,Y)?(0,1),(1,3),(2,3),(3,1),均为不可能事件.所求的X和Y的联合分布律为 X 0 1 2 3 Y 33 0 88113 0 0

881 0

3. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律.

解 X的取值为0,1,2,3，Y的取值为0,1,2,其联合分布律为 X 0 1 2 3

Y 32 353561221 0

3535351632 0

3535350 0 0

4. 设二维随机变量?X,Y?概率密度为

?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f(x,y)??

0, 其它.?求:（1）常数k； （2）P?X?1,Y?3?； （3）P?X?1.5?； （4）P?X?Y?4?.

解 （1）由概率密度的性质??????????f(x,y)dxdy?1，得

??????????f(x,y)dxdy??21k?,故. k(6?x?y)dxdy?2k(3?x)dx?8k?1?00?2824 2

3

?6?x?y,0?x?2,2?y?4,?于是 f(x,y)?? 8??0, 其它.(2) P?P?X?1,Y?3?????f(x,y)dxdyD ??6?x?y3dydx?0?2881.546?x?y27 (3)P?X?1.5????dydx?0283224?x6?x?y2(4）P?X?Y?4????dydx?.

028313

5. 设二维随机变量?X,Y?服从区域G上的均匀分布，其中G?x?1,y?1，试求关于t的一元二次方程t2?Xt?Y?0无实根的概率.

解 二维随机变量(X,Y)在区域G?x?1,y?1服从均匀分布，由G的面积

????A?4，所以(X,Y)的概率密度为

?1?, x?1,y?1, f(x,y)??4??0, 其它. 若关于t的一元二次方程t2?Xt?Y?0无实数根，则判别式

??X2?4Y?0

t的一元二次方程t2?Xt?Y?0无实数根的概率为

P{X2?4Y?0}?P{X2?4Y}??6. 设X与Y的联合概率密度为

1?1?1x42111dydx?. 424?4xy, 0?x?1,0?y?1, f(x,y)??

0, 其它.?求X与Y的联合分布函数F(x,y)

解 F(x,y)??x??ds?y??0,x?0或y?0??x2y2,0?x?1,0?y?1??f(s,t)dt??x2,0?x?1,y?1

?y2,x?1,0?y?1?1,x?1,y?1??

3

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7. 设X与Y的联合概率密度为 y ?2xy, (x,y)?G,x y??0 f(x,y)??2?0, 其它.其中区域G如图3-7所示，试求X与Y的边缘概率密度. O 2 x 图3-7 ?2x3解 f(x)???f(x,y)dy???02xydy?, 0?x?2,

4?x????0, 其它.?fY(y)???????22xydx?4(y?y3), 0?y?1,? f(x,y)dx???2y??0, 其它.

8. 二维随机变量?X,Y?概率密度为

?cx2y, x2?y?1,f(x,y)??

?0, 其它.试求:（1）确定常数c；

（2）边缘概率密度.

解 （1）由概率密度的性质

??1????????f(x,y)dxdy?1，得

??????????f(x,y)dxdy??1?1x?2cxydxdy??1212421cx(1?x4)dx?c?1,故c?. ?12214于是

?2122?xy, x?y?1, f(x,y)??4

??0, 其它.(2) X的边缘概率密度 fx(x)??????212?12124??x2xydy?x(1?x), -1?x?1,

f(x,y)dy??48??0, 其它.?y21275xydx?y2, 0?y?1, ?f(x,y)dx????y42?0, 其它.?Y的边缘概率密度

fY(y)??????9. 设袋中有标记为14的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X表示首次抽到的卡片上的数字，Y表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 .

（X,Y）（1）求的概率分布；

（2）给出X与Y的边缘分布；

（3）求在X=4下Y的条件概率分布和在Y=3下X的条件概率分布.

4

5

解 (1) X的取值为1,2,3,4，Y的取值为1,2,3（,X,Y）的概率分布为

X 1 2 3 4

Y 1 112 212 212 112 2 112 112 112 112 3 112 0 0 112

（2）给出X与Y的边缘分布

X 1 2 3

pi 14 14 14 Y 1 2 3

pi 12 13 16

（3）求在X=4下Y的条件概率分布

Y 1 2 3

pi 13 13 13

在Y=3下X的条件概率分布

X 1 4

pi 12 12

10. 在第8题中，试求

（1）已知事件??1??Y?2??发生时X的条件概率密度；

（2）fYX(y/x).

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