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高数试题 2008.7
一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线l1:?x?y?6,x?7y?2z?4，l2:?则l1 与l2 的夹角为[ ]. ??1?21?2y?z?3,（A）
????；（B）；（C）；（D）. 23462.函数 z = xe2y在点P(1, 0)出沿从P(1, 0)到Q(2, ?1)方向的方向导数为[ ].
1?xysin,x2?y2?0,?22x?y3.函数f(x,y)??在(0, 0)点[ ].
?0,x2?y2?0,?(A) 偏导数连续；(B) 偏导数不存在； (C)偏导数存在但不可微； (D)可微但偏导数不连续。 4.积分
?10dx?xy2?x2dy?[ ].
x1(A)13(B)14(C)112(D)1。 245.设?是由x2 + y2 + z2 = 1所围成的区域，则三重积分
???e?|z|dv?[ ].
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是
222??x?y?z?4,22.设?:?则?xds?
???z?3,?dy2x??(1?y)e3. 满足微分方程初值问题?dx 的解为y＝ ．
?y?1 ?x?04.设z = ln(1 + x2 + y2), 则dz(1,2)?
三、（9分）求微分方程y???4y?xcosx的通解．
四、（9分）求函数f (x, y) = xy在闭区域x2 + y2 ? 1上的最大值和最小值。.
五、（9分）某物体的边界由曲面z = x2 + y2和平面z = 0, |x| = a，|y| = a围成, 其密度函数为? = x2 + y2, 求该物体的质量.
六、（9分）设直线L:?的值。.
七、（9分）计算曲面积分
333(x?y?z)dydz?(x?y?z)dzdx?(x?y?z)dxdy ????x?y?b?0,在平面? 上，而平面? 与曲面z = x2 + y2相切于(1, ?2, 5)，求a, b
?x?ay?z?3?0,其中?为由圆锥面x2 + y2 = z2与上半球面x2 + y2 + z2 = R2 (R > 0)围成曲面的外侧.
八、（8分）设函数Q(x, y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分径无关，且对任意t，有
?2xydx?Q(x,y)dy与路
L?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy，求Q(x, y).
九、（6分）设当x??1时，可微函数f(x)满足
f?(x)?f(x)?1. 求f?(x)；
1x?. 1f(t)dt?0， f(0)?0x?1 2. 证明：当x?0时，f(x)?e?x．
答案 一、1.B；2.A；3.D；4.C；5.D.二、1.
xy?2z?412；2.dz?dx?dy；3. ???23133(?1)ny?tan(e??1)；4. ?n?1(x?2)n；
4n?03x??三、
12111126y?C1cos2x?C2sin2x?xcosx?sinx.四、fmax?,fmin??.五、a, 六、a = ?5,
3922459(2?2)?R5.八、Q(x, y) = x2 + 2y – 1. 5b = ?2. 七、
高数试题 2009.7
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数z(A)(B) (C)
?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是[ ]
f(x,y)在点(x0,y0)处连续； f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数；
lim[?z?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?x]?0，??(?x)2?(?y)2；
??0 (D) lim??0?z?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?x??0.
2. 圆心在原点半径分别为R和r的(R?r)的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为?)关于原点的转动惯量为[ ].
1??(R4?r4)； 2114444(C) ??(R?r)； (D) ??(R?r).
46(A)
??(R4?r4)； (B)
3. 微分方程y???5y??6y?xe2x?e3x的特解形式为（ ）
(A)y*?x(ax?b)e2x?cxe3x； （B）y*?ae2x?b(x?c)e3x； ?ce3x； (D) y*?(ax?b)e2x?cxe3x
（C）y*?(ax?b)e22x4. 设?是由球面x?y?z?a (a?0)所围成的闭区域，则(A)
222????x2?y2?z2dv= [ ]
441?a； (B) 4?a4； (C) ?a4； (D) ?a4. 32二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 已知2．函数
a?3，b?26，a?b?72，则a?b?
f(x,y)?x2?xy?y2在点(1,1)处的梯度为
3. 已知曲线?为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分
2222?(x?2y?3z)ds= ?4. 由曲面z?4?3(x?y)与曲面z?x?y所围立体的体积为 ． 5. 设?为平面
4xyz???1在第一卦限中的部分，则??(z?2x?y)dS=
3234?6. 以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点P0(1,1,1)到直线
x?7y?2z?3的距离. ??1232
2
2
?x?02．已知一平面通过球面x + y+z = 4(x ? 2y ? 2z)的中心, 且垂直于直线L:?, 求（1）该平面的方
y?z?0?程；（2）该平面与球面的交线在xOy平面上的投影。
?2u3．设函数f具有二阶连续的偏导数，u?f(xy,x?y)求.
?x?y4．计算二重积分
2y?xy?x，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域. xydxdyD??D?(1?x2)y???2xy?5求解微分方程的初值问题：?．
?y(0)?1,y?(0)?3 四、 (8分)计算积分I???(x2cos??y2cos??z2cos?)dS, ?是抛物线z = x2 + y2被z = 4割下的有限部
?分的下侧, cos?, cos? , cos?是?上各点法线方向余弦. 五、(8分)设f (x) 为连续可微函数，且
f(1)?2，对任一闭曲线L有?4x3ydx?f(x)dy?0。求曲线积分
L223(x?2)?(y?2)?4上由A(2,0)经D(4,2)到B(2,4)的一段的值.其中是圆周4xydx?f(x)dyL?L弧.