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2020年高考模拟试题
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，A． B．
C．
D．
只有一项是符合题目要求的
1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为
A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数
在复平面上对应的点位于
A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
，则去打篮球；
否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A.
B. C. D.
4、函数的部分图象
如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的
图象解析式为 A. B.
C. D.
5、已知，，，则
A. B.
C.
D.
6、函数
的最小正周期是
A.π B. C. D.2π 7、函数y=
的图象大致是
8、已知数列
为等比数列，是是它的前n项和,若
，且与2的等差中
项为，则
A.35 B.33 C.31 D.29
9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有
A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足，，若
（
），则
A. B . C. D.
11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A.
B.
C. D.
12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上
13、设θ为第二象限角，若
，则sin θ＋cos θ＝__________
14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________
15、已知曲线y?x?lnx在点?1,1? 处的切线与曲线y?ax2??a?2?x?1 相切,则a=
16、若
?4?x??2，则函数y?tan2xtan3x的最大值为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17、已知数列的前项和为，且
，对任意
N，都有
.
（1）求数列的通项公式； （2）若数列
满足
，求数列
的前项和
.
18、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB。
（1）求PA的长；
（2）求二面角B－AF－D的正弦值。
19、销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X（单位：t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈
[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），求T的数学期望。
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20、设点O为坐标原点，椭圆E：x2y2a2?b2?1（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，
过点O且斜率为16的直线与直线AB相交M，且uMAuur?1uuuur3BM．
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）PQ是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．
21、设函数f(x)?x2?ax?lnx(a?R)． （1）若a?1，求函数f(x)的单调区间．
（2）若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22、在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为
（为参数）。
（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴
正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系； （2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。
23、已知关于x的不等式
（其中
）。
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围。
2020年高考模拟试题 理科数学参考答案
选择题：
1、C，由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.
2、A，本题考查复数的运算及几何意义
，所以点（位于第一象限
3、B方法一：不在家看书的概率=
方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—
4、D，由图像知A=1, ,,由
得
，则图像向右平移
个单位后得到的图像解析式为
，故选D。
5、D 6、A,根据三角恒等变换化简可得
7、D，解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞
，函数y单调递增，因此
函数y为偶函数， 8、C,设{
}的公比为，则由等比数列的性质知，
，即
。
由与2的等差中项为知，，。
∴
，即
。
，
，
.
9、A，分类讨论，有2种情形： 孪生姐妹乘坐甲车：则有
孪生姐妹不乘坐甲车：则有
所以共有24种，
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10、B，以为坐标原点，如图建立直角坐标系．
设，则∵，，∴．
∵
（），∴，
∴即两式相加，得解得．
11、B，如图：|OB|＝b，|O F1|＝c，∴kPQ＝，kMN＝﹣。
直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x，由，得：Q(，)；由，得：
P(
，)，∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，
令y＝0得：xM＝，又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝。
12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得
|log0.5x|＝.令g（x）＝|log0.5x|，h（x）＝，作g（x），h（x）的图象如
图所示，因为两个函数图象有两个交点，所以f（x）有两个零点。
填空题
13、由
，得tan θ＝
，即sin θ＝
cos θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得
.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝
，sin θ＝
，sin
θ＋cos θ＝
14、(a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1=
a4﹣
r xr，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，解得a=2
15、曲线
y?x?lnx在点?1,1?处的切线斜率为2，故切线方程为y?2x?1，与
y?ax2??a?2?x?1 联立得ax2?ax?2?0，显然a?0，所以由 ??a2?8a?0?a?8
16: 设
tanx?t,Q?4?x??2?t?1,
?y?tan2xtan3x?2tan4x1?tan2x?2t41?t2?21?2?2??8 t4?11111t2(t2?2)2?4?4解答题
17、1）解法1：当时，
，
，
两式相减得，
即，得.
当
时，
，即
.
∴数列是以
为首项，公差为
的等差数列。
∴.
解法2：由
，得
，
整理得，，两边同除以得，.
∴数列
是以
为首项，公差为的等差数列。∴
.∴
.
当时，.又适合上式，
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∴数列
的通项公式为. （2）解法1：∵
，∴
.
∴
，①
，②
①
②得
.
∴
.
解法2：∵
，∴.
∴.
由
，两边对
取导数得，
.令，得
.∴
.
18、（1）
如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD。以O为坐标原点，
，
，
的方向分别为x轴，y轴，
z
轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD＝1，而AC＝4，
得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝
，故A（0，－3,0），B（
，0,0），
C（0,1,0），D（
，0,0）。因PA⊥底面ABCD，可设P（0，－3，z），由F为PC边中
点，F
.又＝，＝（，3，－z），因AF⊥PB，故·＝0，
即6－
＝0，
（舍去），所以||＝.
(2）由（1）知
＝（
，3,0），
＝（
，3,0），
＝（0,2，
），设平面FAD的法向量为n1＝（x1，
y1，z1），平面FAB的法向量为n2＝（x2，y2，z2），由n1·＝0，n1·＝0，得因此
可取n1＝（3，
，－2）。由n2·
＝0，n2·
＝0，
得
故可取n2＝（3，
，2）。从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝，故二面角B－AF－D的正弦值为
19、（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
（2）由（1）知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
（3）依题意可得T的分布列为
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400
20、（1）∵A（a，0），B（0，b），
，所以M（
，
）．∴
，解得a＝2b，
于是
，∴椭圆E的离心率e为
．
（2）由（1）知a＝2b，∴椭圆E的方程为即x2＋4y2＝4b2（1）
依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且
．
由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，代入（1）得： （1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
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由得，解得．从而x1x2＝8－2b2．于是 ． 解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为． 21、1）a?1时，f(x)?x2?x?lnx(x?0)，∴f?(x)?2x?1?1(2x?1)(x?x?1)x(x?0)． ∵当x????0,1?2??，f?(x)?0，f(x)为单调减函数．当x???1?2,?????，f?(x)?0，f(x)为单调增函数．
∴f(x)的单调减区间为??0,1??，f(x)的单调增区间为??1,?????2??2?．
（2）∵f?(x)?2x?a?1x，f(x)在区间(0,1]上是减函数，∴f?(x)≤0对任意x?(0,1]恒成立， 即2x?a?1x≤0对任意x?(0,1]恒成立．令g(x)?1x?2x，a≤g(x)min．易知g(x)在(0,1]上单调递减，
∴g(x)min?g(1)??1．∴a≤?1．
22、(1）把极坐标系下的点
化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程
，
所以点P在直线上，
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为
，
从而点Q到直线的距离为
，
由此得，当
时，d取得最小值，且最小值为
。
23（1）当
时，
，
时，
，得
时，
，得
时，
，此时
不存在
∴不等式的解集为 （ 2）略