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武 汉 大 学

2013~2014学年第一学期硕士研究生期末考试试题

科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 1、（10分）已知方程 3x-2cosx-12=0.

（1）估计出含根的区间；

2（2）讨论迭代格式 xn+1=cosxn+4 的收敛性；

3（3）写出求解此方程的牛顿迭代格式，并讨论初值x0取何值时迭代收敛。

2、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 Ax?b，其中

轾151犏4227 b= A=犏犏犏135臌轾14犏犏61 犏犏16臌3、（14

aii?0,i分）设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=(aij)，

n′n1,L,n.b=(b1,b2,L,bn)

T（1）分别写出Jacobi迭代格式及 Gauss-Seidel迭代格式；

（2）证明：Gauss-Seidel迭代格式收敛的充分必要条件是方程

la11a12la21la22LLa1na2nMlannMMlan1lan2L=0的根的模l<1.

4、（12分）已知 y?f(x) 的数据如下：

xi f(xi) f?(xi) 1 2 3 2 4 12 3 求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)及其余项。

5、（10分）已知数据 xi -2 -1 0 1 2 yi 0 1 2 1 0 求形如 y=a+bx+cx2 的拟合曲线。 6、（10分）确定常数 a，b 的值，使积分

I(a,b)=取得最小值。

òp20[a+bx-sinx]dx

27、（10分）已知三次Legendre(勒让德)多项式L3(x)=试确定常数Ai,xi(i=1,2,3),使求积公式

1(5x3-3x)，x?[1,1] 2ò3-3f(x)dx?A1f(x1)A2f(x2)+A3f(x3)

有尽可能高的代数精度，并判断它是否为高斯型求积公式。

?dy??f(x,y)8、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?dx 的单步法：

??y(x0)?y0ìh??y=y+(k1+3k2)n+1n??4??k=f(x,y) í1nn???22?k=f(x+h,y+hk1)?2nn?33??（1）验证它与微分方程相容；

（2）确定此单步法的绝对稳定域

9、（12分）设初值x0充分接近x*=a（a>0为常数），证明：迭代格式

2xn(xn+3a)xn+1=,n=0,1,L 23xn+a三阶收敛于x*，并求limnxn+1-(xn-aa)3 参考答案（2014-1-10）

1、 含根区间：[π，4]；

(x)= 因为g￠2sinx<1，所以迭代收敛； 3在含根区间[π，4]，f的一阶导数恒正，二阶导数恒负，所以取初值为π时牛顿必收敛。 2、分解为

轾100轾151犏犏410犏023 A=LU=犏犏犏犏1-11犏007臌臌 Ly=b,y=(14,5,7) Ux=y,x=(8,1,1) 3、见教材略

224、L2(x)=3x-7x+6，令H3(x)=3x-7x+6+a(x-1)(x-2)(x-3)

TT得到a=2,H3(x)=2x3-9x2+15x-6

T轾11111犏T?a?T犏?5、A=-2-1012 法方程AA??Ay为： ??犏b??犏42024臌轾5010骣a鼢珑犏鼢珑珑犏鼢b鼢= 0100珑鼢犏珑鼢珑鼢犏鼢珑10034c桫臌骣40 a=58/35=1.657, b=0，c=-3/7=-0.429

2桫

轾p犏犏26、j0=1,j1=x，犏犏p2犏犏8臌a=p28p324轾a犏=犏b臌轾1犏， 犏1臌24p96p， (-1)=0.1145b=(1-)=0.6643

4p23p3±3 52727)+a2f(0)+a3f()] 557、三次Legendre(勒让德)的根为 0,令换元x=3t，蝌f(x)dx=3-331-1f(3t)dt?3[a1f(再分别取f(x)=1,x,x2代入得到A=A3=5,3A2=8 3