内容发布更新时间 : 2025/1/3 3:03:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

典型例题一

x2y2??1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 例1 讨论

25?k9?k分析：由于k?9，k?25，则k的取值范围为k?9，9?k?25，k?25，分别进行讨论．

解：（1）当k?9时，所给方程表示椭圆，此时a2?25?k，25?k?0，9?k?0，，（4，0）． b2?9?k，c2?a2?b2?16，这些椭圆有共同的焦点（－4，0）

（2）当9?k?25时，25?k?0，9?k?0，所给方程表示双曲线，此时，

a2?25?k，b2?9?k，c2?a2?b2?16，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）

（4，0）．

（3）k?25，k?9，k?25时，所给方程没有轨迹．

说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．

典型例题二

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

?15??16?5?且焦点在坐标轴上． （1）过点P?3，?，Q??，?4??3?（2）c?6，经过点（－5，2），焦点在x轴上．

x2y22 ?1有相同焦点，且经过点32，（3）与双曲线?164??x2y2?1 解：（1）设双曲线方程为?mn∵ P、Q两点在双曲线上，

?9225??1??m??16?m16n∴?解得?

?n?9?256?25?1??9mn?x2y2??1 ∴所求双曲线方程为169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x轴上，c?6，

y2?1（其中0???6） ∴设所求双曲线方程为：??6??x2∵双曲线经过点（－5，2），∴∴??5或??30（舍去）

25??4?1 6??x2∴所求双曲线方程是?y2?1

5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．

x2y2??1?0???16? （3）设所求双曲线方程为：

16??4??2，∴∵双曲线过点32，??184??1 16??4??∴??4或???14（舍）

x2y2?1 ∴所求双曲线方程为?128x2y2?1有公共焦点的双曲线系方程为说明：（1）注意到了与双曲线?164x2y2??1后，便有了以上巧妙的设法． 16??4??（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．

典型例题三

x2y2?1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左例3 已知双曲线?916支上且PF1PF2的大小． 1PF2?32，求?F