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直线与平面垂直的判定（第1课时）

【教材】高中数学教材必修2（北师大版），第一章“立体几何初步”，第6节“垂直关

系的判定”（第1课时）.

1．教学内容解析

本节教学内容主要有：直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定及其应用. 课本通过让学生观察在一墙角内移动三角板的一条直角

A边BC，而另一直角边AC始终保持与地面垂直这一现象引

出直线与平面垂直的概念，而直线与平面垂直的判定定理则 是通过让学生观察长方体内线面位置关系来感悟的：一条直 C线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面

B垂直.该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂

图1 直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，从而使

直线与平面垂直的判定具有可操作性.

直线与平面垂直是直线和平面相交的一种特殊情况，它是空间中线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系之间转化的轴心，同时它也是直线与平面所成的角等内容的基础.因而它是空间点、线、面位置关系中的核心概念之一. 2．教学目标设置

●知识与技能

理解直线与平面垂直的定义和判定定理，并能运用直线与平面垂直的定义和判定定理解决一些简单的问题.

●过程与方法

体验直线与平面垂直概念的形成过程，培养观察与抽象概括能力；体验直线与平面垂直判定定理产生的过程，体会知识产生的必要性与合理性，培养空间观念，发展合情推理能力；在知识的运用过程中体会转化的思想方法.

●情感、态度与价值观

通过不断地提出问题、解决问题，培养学习热情，体验探索乐趣，培育“数学源于实践又服务于实践”的辩证观. 3．学生学情分析

学生已学过了两直线垂直关系的判定，以及线面平行关系的判定和性质，有了“通过观察、操作，然后抽象概括出数学结论”的经验与体会，有一定的空间想象能力、推理论证能力以及运用图形符号进行交流的能力，具备学习本节知识的基础.

存在的认知困难之一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义.因为学生直观感知中的形象与定义中“直线与平面内任意一条直线都垂直”的内涵有一定的潜在距离.

存在的认知困难之二是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解.因为定义中“任意一条直线”指的是“所有直线”，这种有“有限”代替“无限”的过程在一定程度上会使学生产生思维障碍. 4．教学策略分析

数学教学是数学思维活动的教学，而思维又是从问题开始的，所以本节课在总体上采用“问题引导”策略.通过精心设计一个个问题，激发学生的求知欲，并通过观察、分析、实验、说理、自主探究、合作交流等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，体会解决问题过程中思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法.同时借助多媒体辅助教学，增加教学的直观性，提高课堂教学效率.

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针对学生的第一个认知困难，教学中首先通过实例让学生直观感知直线与平面垂直的形象，然后利用“圆锥或圆柱形成”的情境，从中抽象概括出定义，体会其合理性.

针对学生的第二个认知困难，教学中利用“折纸”实验，引导学生操作、观察、思考与说理，挖掘实验的数学内涵，对定理中的两个关键条件“双垂直”和相交进行确认. 5．教学过程设计 （一）提出问题

问1：直线与平面的位置关系有哪几种？（预设：在平面内、平行与相交三种）

直线在平面内、直线与平面平行这两种情形我们已经系统研究过了，接下来我们研究直线与平面相交的情形. 观察以下图片：

图2

问2：如果将图片中的旗杆、比萨斜塔和电线杆抽象为直线，地面抽象为平面，如上图，请问

这三个图形中的直线与平面的位置关系分别是怎样的？

反馈：它们的位置关系均为相交，但旗杆给我们的印象是垂直，而比萨斜塔和被大风吹歪了

的电线杆则给人以不垂直的印象.

问题：假如我们要将被大风吹歪了的电线杆扶直，请问：怎样才能知道电线杆被扶直了？从

数学角度来说，也就是怎样判定直线与平面垂直？（板书课题） （二）分析问题、解决问题

点拨：要解决上述问题，必须首先弄清什么叫做直线与平面垂直，也就是直线与平面垂直的

定义. 找一找：（1）在教室里找直线与平面垂直的例子；

（2）在已学过的几何体中找直线与平面垂直的例子. PD1C1O1

A1B1

DC

AOOB图3 - 2 - / 7

（1）给出直线与平面垂直的定义

讨论1：你们觉得直线与平面垂直的特征是什么？ 回忆：圆锥、圆柱是怎样形成的？

讨论2：从圆锥与圆柱的形成过程中，你们看到了直线与平面垂直有什么特征吗？ 预设：直线与平面垂直的特点是直线垂直平面内过交点的所有直线.

点拨：当旗杆或电线杆垂直地面内过交点的所有直线时，旗杆或电线杆就不会发生倾斜，此

时旗杆或电线杆也是最稳定的.

问1：你认为应当怎样定义直线与平面垂直？

合作交流，然后提问.（预设：从回答“直线垂直平面内过交点的所有直线”过渡到回答“直

线垂直平面内任何一条直线”.）

（板书）定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，则称这条直线与这个平

l面垂直.

图形：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形横边

Hα垂直，如图4所示.

符号：l??.

说明：直线l叫做平面?的垂线，平面?叫做直线l的垂面， 图4

直线与平面的交点叫做垂足.

问2：定义中“任何一条直线”可改为“任意一条直线”“所有直线”

或“无数条直线”吗？

问3：回到前面的问题上来，用直线与平面垂直的定义可以判定电线杆与地面垂直吗？为什

么？

反馈：利用定义来判定电线杆与地面是否垂直，需要作无限次验证，这在实际操作中是难于做

到的。

（2）确认直线与平面垂直的判定定理

问4：利用定义判定直线与平面是否垂直有困难，难就难在需要作“无限次”验证。那么，能

不能通过“有限次”验证就能判定直线与平面垂直呢？

启发：大家想想我们是如何判定两个平面平行的？两个平面平行是指它们没有公共点，也可

看作是一个平面内所有直线都与另一个平面平行，我们在证明这两个平面平行时难道需要证明一个平面内的所有直线都与另一个平面平行吗？

反馈：答案是只要在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行即可。现在，我们要判

定一条直线与一个平面垂直，是不是只要直线与平面内的某几条直线垂直就可以了呢？顺着这条思路，下面我们来探讨：如果直线与平面内一条直线垂直，能不能保证这条直线与这个平面垂直？如果直线与平面内两条直线垂直，能不能保证这条直线与这个平面垂直？……

探究1：如果直线与平面内一条直线垂直，这条直线与这个平面是否垂直？ 反馈：如果一条直线只和平面内一条直线垂直，不能确保

这条直线与平面垂直.教师将一块三角板按如图5的 方式放置在桌面上给予确认.

图5

探究2：如果直线与平面内两条平行直线垂直，这

条直线与这个平面是否垂直？

反馈：答案否定的.在平面内即使有无数条直线，只

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