内容发布更新时间 : 2024/5/18 13:22:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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人教版选修4—5不等式选讲

课题：用数学归纳法证明不等式

教学目标：

1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。 2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。 3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。 重点、 难点：

1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。 教学过程： 一、复习导入：

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？

（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。 （2）步骤：1）归纳奠基;

2）归纳递推。

2、作业讲评：（出示小黑板）

习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1) 如采用下面的证法，对吗？

证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。 ②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，

-可编辑修改-

。

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1) 当n=k+1时，

2+4+6+8+……+2k+2(k+1) ∴ n=k+1时，等式成立。

由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。 （1）学生思考讨论。 （2）师生总结： 1）不正确

2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，

违背了数学归纳法本质：递推性。 二、新知探究

明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板)

例1 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。 ｛an=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）学生观察思考 （2）师生分析

（3）解：从第5项起，an ＜ bn ，即 n2＜2n,n∈N+（n≥5）

证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。 （2）假设当n=k（k≥5）时命题成立 即k2＜2k

-可编辑修改-

?你能说出证明中每一步的理由吗？ 。

当n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知n2＜2n（n∈N+，n≥5）

学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2

②归纳假设：2k2<2×2k

例2

证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)

分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。 （2）假设当n=k（k≥1）时命题成立， 即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│ 当n=k+1时，

│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│ ≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│ =│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│ ≤│Sin kθ│+│Sin θ│ ≤k│Sinθ│+│Sin θ│ =（k+1）│Sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

?你能说出证明中每一步的理由吗？ -可编辑修改-