内容发布更新时间 : 2024/5/18 17:36:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题层级快练(二十)
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1．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0，2)上恰好有( )
3A．0个零点 C．2个零点 答案 B
解析 ∵f′(x)＝x2－2ax，且a>2，∴当x∈(0，2)时，f′(x)<0， 即f(x)在(0，2)上是单调减函数．
11
又∵f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，∴f(x)在(0，2)上恰好有1个零点．故选B.
3
2．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( ) A．(2，＋∞) C．(1，＋∞) 答案 B
解析 方法一：当a＝0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意． 2当a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
a
222
当a>0时，>0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞，0)与(，＋∞)上为增函数，在(0，)上为减
aaa函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0>0，则f(0)<0，即1<0，不成立．
222
当a<0时，<0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞，)和(0，＋∞)上为减函数，在(，0)上为增
aaa284
函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0>0，则f()>0，即a·3－3·2＋1>0，解得a>2或a<－2，又
aaa因为a<0，故a的取值范围为(－∞，－2)．选B. 方法二：f′(x)＝3ax2－6x，
2
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，)时，f′(x)<0；
3225
x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f()＝>0，
339则f(x)的大致图像如图(1)所示，不符合题意，排除A，C.
B．(－∞，－2) D．(－∞，－1) B．1个零点 D．3个零点
433当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，x∈(－，0)
322
35
时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f(－)＝－，则f(x)的大致图像如图(2)
24所示．不符合题意，排除D.故选B.
3．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln2－2]
解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解． 令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．
1
4．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图像如图所示．
3
(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．
1
答案 (1)a＝－，b＝－2 函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减
2710(2)(－，) 63
1
解析 (1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.
3
??－1＋2＝－2a，1
因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，所以?解得a＝－，b＝－2，
2??－1×2＝b，
由导函数的图像可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＜－1或x>2时，f′(x)>0，函数单调递增，故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减． 11
(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，
32710
在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.
63
?710
而函数f(x)恰有三个零点，故必有?解得－＜c＜.
6310
c－＜0，?3
710
所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是(－，)．
631exex
5．(2019·东北四校联考)已知f(x)＝＋－3，F(x)＝lnx＋－3x＋2.
xee(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．
7
＋c>0，6
答案 (1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增 (2)3个
2x
1exxe－e
解析 (1)f′(x)＝－2＋＝，
xeex2令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 1ex
(2)F′(x)＝f(x)＝＋－3，由(1)得?x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，
xe使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0， 即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增， 而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，F(x)→＋∞， 画出函数F(x)的草图，如图所示．
故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个． 6．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx(a∈R)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
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(2)若函数f(x)在(0，)上无零点，求a的取值范围．
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答案 (1)减区间为(0，2)，增区间为(2，＋∞) (2)[2－3ln3，＋∞) 2x－2
解析 (1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2lnx，则f′(x)＝1－＝，
xx由f′(x)>0，得x>2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2.
故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)． 1
(2)因为f(x)＜0在区间(0，)上恒成立不可能，
31
故要使函数f(x)在(0，)上无零点，
31
只要对任意的x∈(0，)，f(x)>0恒成立，
312lnx
即对x∈(0，)，a>2－恒成立．
3x－1
2
2lnx＋－2
x2lnx1
令h(x)＝2－，x∈(0，)，则h′(x)＝，
3x－1（x－1）2－2（1－x）21
再令m(x)＝2lnx＋－2，x∈(0，)，则m′(x)＝＜0，
x3x21
故m(x)在(0，)上为减函数．
3