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离散数学刘玉珍答案
【篇一：2~离散数学习题解第二部分(代数系统)4】
部分 代数系统
习题四 第四章代数系统
1．设i为整数集合。判断下面的二元关系是否是i上的二元运算 a）+={（x，y），z|x，y，zi且z=x+y} b）－={（（x，y），z）|x，y，zi且z=x－y} c）3={（（x，y），z）|x，y，zi且z=x3y} d）/={（（x，y），z）|x，y，zi且z=x/y} e）r={（（x，y），z）|x，y，zi且z=xy} f）
={（（x，y），z）|x，y，zi且z= y x }
g）min = {（（x，y），z）|x，y，zi且z=max（x，y）} h）min = {（（x，y），z）|x，y，zi且z=min（x，y）} i）gcd = {（（x，y），z）|x，y，zi且z= gcd（x，y）} j）lcm={（（x，y），z）|x，y，z∈i且z= lcm（x，y）}
[解] a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：i2→i是i上的一个二元运 算。
b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：i2→i是i上的一个二元 运算。
c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：i2→i是i上的一个二元 运算。
d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6?i；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=xy=2 –2= z=? 11y
?i=；若x=y=0，则z=x=0，则2 42
x?2?i；
g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：i2→i是i上的一
个二元运算。
h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：i2→i是i上的一
i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知gcd：i2→i是i上 的一个二元运算。
j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知lcd：i2→i是i上 的一个二元运算。
注：两个整数a和b的最大公约数gcd（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数lcm（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。
2．设x={x | x=2n，n∈n}问普通数的加法是否是x上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是x是x上的二元运算，因为存在着x1=2∈x，x2=22∈x，使 x1+x2=2+22=6?x。
普通的乘法运算是x上的二元运算，因为对于任意的x1=2里n1，n2?n，都有x12x2=2122 n n2 n1
?x，x2=2n2?x，这
?x（因为n1+n2∈n）。
3．设x，* 是代数系统，*是x上的二元运算，若有元素el∈x，使?x?x，有el*x=x，
则称el是关于*的左幺元。若有元素erx，使?x?x，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。
a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。
c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。 [解] ：a) 构造代数系统x，*如下：
令x={a，b，c，d}，*：x3→x→x，其运算表如下：
则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。 b) 构造代数系统x，
* 如下：
令x={1，2，3，4} *： x3→x→x，其运算表如下：
=2
n1??n2
则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。
c) [证] 因为代数系统x，*关于*运算存在着左、右幺元，ei，er∈x 则
el = el * er = er∈
4．设x，*是代数系统，*是x上的二元运算。若有元素ol∈x，使?x∈x，有ol*x=ol
是关于*的左零元。若有元素or∈x，使?x∈x，有x*or=or，则称or是关于*的右零元。
a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。
c) 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。 [解] a) 构造代数系统x，*如下： 令x={a，b，c}，*：x3x →x，其运算表如下：
则a和b都是左零元，但没有右零元。 b) 构造代数系统x，*如下： 令x={1，2，3}，
*：x3→x→x，其运算表如下： 3
则3是右零元，但没有左零元。 1 2 3
c) [证] 因为代数系统x，*关于*运算存在着左、右零元，ol，or∈x，则
ol=ol*or=or
5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [答] 在一个代数系统x，*中，
1） 运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，y∈x，x行每个元素与y
的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。
2） 运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。 3） 运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行和列 相一致。