内容发布更新时间 : 2024/9/22 4:05:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、不等式的基本性质

1.比较实数大小的充要条件

对于任意两个实数a,b有且只有下列三种情况之一成立： a>b?a-b>0; a

深化升华

（1）上面的关系式沟通了实数大小的几何意义和代数意义之间的联系，是比较两个实数大小，以及用比较法证明不等式的出发点，也是这一讲内容的基础.

（2）两个实数比较大小，常用作差法，作差法的步骤是：①作差；②变形（分解因式，配方法）；③判断差的符号；④结论. 记忆要诀

“三步一结论”.其中“判断差的符号”是目的,“变形”是关键. 2.不等式的性质

（1）对称性：a>b?bb,b>c?ab?a+c

（4）乘（除）:a>b,c>0?ac>bc.a>b,c<0?acb>0?an>bn(n∈N,n≥2). （6）开方：a>b>0?na>nb(n∈N,n≥2).

（7）a>b,c>d?a+c>b+d. （8）a>b>0,c>d>0?ac>bd. 误区警示

不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.从应用的角度看，单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础，当然也用于证明不等式.在这些性质中，乘（除）法性质的应用最容易出错，所以在利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不等式性质成立的条件. 二、基本不等式

1.定理1：设a,b∈R，则a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

a?b≥ab，当且仅当a=b时等号成立. 2a?b?c33.定理3：如果a，b，c为正数，则≥abc，当且仅当a=b=c时等号成立.

32.定理2：如果a，b为正数，则

4.一般结论：如果a1，a2，…，an为n个正数，则

a1?a2???ann?a1a2?an，

n当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立. 学法一得

（1）在利用定理2、定理3这两个平均值不等式求最大（小）值问题时，必须满足三条：一正、二定、三相等.也就是，第一，均为正数；第二，求积的最大值时，应看和是否为定值，求和的最小值时，应看积是否为定值；第三，等号成立时条件是否具备.应用一般结论求最值也要注意上述条件.

（2）为了达到使用基本不等式求最值的目的，常常需要对代数式进行通分、分解变形、构造和为定值或积为定值的模型. 联想发散

如果在某些特定条件下，一个不等式转化为等式，那么我们称这个不等式是“精确”的.这一类不等式在现代数学中非常重要，它们为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础.

典题·热题

知识点一：不等式的基本性质

例1 对于实数a,b,c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则

ab11?；⑤若a>b,?，则a>0,b<0.其中真命题的c?ac?bab个数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

思路分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，要注意条件与结论之间的联系. ①c为正、负或是零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac2>bc2知c≠0,又c2>0,∴a>b是真命题.③题.④a>b>0?-a<-b?c-a

∵c>a,∴c-a>0,∴0

a?b?0?a?b?22

a>ab,????ab>b，∴该命题为真命

a?0b?0??111?，得，又a>b>0，c?ac?b(c?a)(c?b)ab?.故该命题为真命题.⑤由已知条件知c?ac?b1111b?aa>b?a-b>0,??->0?>0,∵a-b>0,∴b-a<0,∴ab<0,又a>b,∴a>0,b<0，故该

ababab∴

命题为真命题.综上可知，命题②③④⑤都是真命题.

答案：C 误区警示

通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.另外，若要判断命题为真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若判断命题为假命题只需举一反例.

知识点二： 用基本不等式证明条件不等式

1125)(b+)≥. ab411思路分析：本题不能由(a+)≥2，(b+)≥2求解.因为此两式当且仅当a=1,b=1时成立，而

ab例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证：(a+

由a+b=1这显然是不可能的，由要证的结论不易看出解题思路，可先将左边展开，进行

“拆”“配”. 证明：左=(a+

111ba12ba??=(ab?)(b+)=ab+)+++2.

ababababab∵a>0,b>0,∴

ab+≥2,又∵a>0,b>0,a+b=1,∴a+b≥2ab. ba

11131≥2,-ab≥?,∴(-ab)≥, ab≤,

2ab22ab∴(ab-

1ab)2≥

9, 4∴左≥2+2+

9251=（当且仅当a=b=时取等号）. 422方法归纳

一般的，数学中的定理、公式揭示了若干变量之间的本质联系，但不能定格于特殊形式，因此在解答数学题的过程中，把数值、数式合理地拆成两项或多项，或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学表达式数学变形过程中常用的方法，这也是一种解题技巧. 知识点三： 用基本不等式求值域 例3 求当x>0时，f(x)=

2x的值域. x2?1思路分析：此题从形式上看，不能使用基本不等式，但通过变形之后，f(x)=

21x?x在分母上

可以使用基本不等式. 解：∵x>0，∴f(x)=

2x=x2?12x?1x.∵x+

1≥2,∴0

1. 2∴0

（1）本题中要没有x>0的限制，仅有x∈R，那么应如下求解： 当x>0时，同上;当x<0时，x+

11≤-2,∴?≤x221x?x<0,∴-1≤f(x)<0;

当x=0时，f(x)=0,∴-1≤f(x)≤1.

（2）若本题加上x∈R的条件，且不用基本不等式，则可以用判别式求解. ∵y=

2x, 2x?1∴yx2-2x+y=0.

当y=0时，得x=0，当y≠0时，

∵x∈R，∴Δ=4-4y2≥0,∴-1≤y≤1,但当x>0时，如使用判别式法求解，那么就不仅仅是Δ≥0的问题了，而且还应该考虑x>0的限制条件，是比较复杂的. 知识点四： 用基本不等式解决实际问题

例4 某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？

思路分析：年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费用、保险费、养路费、汽油费以及维修费用的总和，因此，应先计算总费用，列出函数关系，再计算年平均费用. 解：设使用x年时平均费用最少.

由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2