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2010年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．
cos4x?sin4x?sin2xcos2x化简三角有理式6的值为（ A ） 622sinx?cosx?2sinxcosx A. 1 B. sinx?cosx C. sinxcosx D. 1+sinxcosx
解答为 A。
分母=(sin2x?cos2x)(sin4x?cos4x?sin2xcos2x)?2sin2xcos2x
44 ?sinx?cosx?s2ixn2。
cxos2．
若p:(x2?x?1)x?3?0,q:x??2，则
p是q的（ B ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B。p成立?x??3，所以p 成立，推不出q一定成立。 3．
集合P={xx?R,x?3?x?6?3}，则集合CRP为（ D ） A. {xx?6,或x?3} B. {xx?6,或x??3}
C. {xx??6,或x?3} D. {xx??6,或x??3} 解答：D。 画数轴，由绝对值的几何意义可得?6?x??3，
P??x?6?x??3?,CRP?{xx??6,或x??3}。
4． 设a,b为两个相互垂直的单位向量。已知OP=a，OQ=b，OR=ra+kb.
若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为（ C ） A．k?r?1?31?3?1?3,r? B．k? 2221?3?1?3?1?3,r? D．k? 222 C．k?r?解答．C. PQ?QR?2222P，R
2，解得r=k=1?3。 2即r?(k?1)?(r?1)?k?5． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，则CA1与C1B所成的角的大
小是( C )
A．60° B．75° C．90° D．105°
解答：C。建立空间直角坐标系，以A1B1所在的直线为x轴，在平面A1B1C1上垂直于A1B1
的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴。则A1(2,0,0),C1(2626,,0),C(,,1), 2222B(0,0,1)，CA1?(2626,?,?1),C1B?(?,?,1),CA1?C1B?0。 2222 6．
设?an?，?bn?分别为等差数列与等比数列，且a1?b1?4,a4?b4?1，则以
下结论正确的是（ A ）
A. a2?b2 B. a3?b3 C. a5?b5 D. a6?b6 解答：A。
3设等差数列的公差为d，等比数列公比为q,由a1?b1?4,a4?b4?1，得d=-1,q=324。 得a2?3,b2?22;a3?2,b3?4;a5?0,b5?;a6??1,b6?24333227． 若x?R?,则(1?2x)15的二项式展开式中系数最大的项为（ D ）
A．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项
2932rr2,由Tr?Tr?1，Tr?2?Tr?1??r?解答：D. Tr?1?C15，r=10，第11项最大。
338．
设f(x)?cosx111，a?f(loge),b?f(log?),c?f(log12)，则下述关系5?ee?式正确的是（ D ）。
A．a?b?c B. b?c?a C. c?a?b D. b?a?c
x?解答： D。函数f(x)?cos为偶函数，在（0，）上，f(x)?cosx为减函数，
52而loge1???loge?,log?111??,log12?2loge?， eloge?e?0? 9．
loge?2loge??1???，所以b?a?c。
5loge?554下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ C ）
正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形
侧视图： 半径为1的以及高为1的矩形 1圆4俯视图： 半径为1的圆
3?2?4?3? B. C. D. 2334解答：C. 根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。
A.
10. 设有算法如下：
如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ B ） A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
?2x?2010?所有实数解为211. 满足方程x?2009?2x?2010?x?20092010?x?2011。
解答 变形得(x?2010?1)2?(x?2010?1)2?2?0?x?2010?1，解得
2010?x?2011。
xx?3cos的最小正周期为12?. 23xx，3co的周期为s6?，所以函数fx的周期为()?。1解答 2sin的周期为?4 22312. x?R, 函数f(x)?2sin13. 设P是圆x2?y2?36上一动点，A点坐标为?20,0?。当P在圆上运动时，线