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重庆理工大学硕士研究生试题专用纸

重庆理工大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题

学院名称：理学院 学科、专业名称：统计学 考试科目（代码）：数理统计（820）(A) （试题共 4 页） 注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。 2.试题附在考卷内交回。 一、简答与证明（共30分） 设x1,x2,,x16来自总体为N(0,?2)的样本。

1.给出?2分布与正态分布的关系，并利用此关系证明：

(?xi2)/?2服从?分布，并指出该分布的自由度。 （10分）

i?11622.利用F分布与?分布的关系，证明：

2x12?x2?Y?22x9?x10?2?x8~F(8,8)2?x16

2并计算P(Y?1) 。 （10分）

23.令 S?k?(x?x)ii?1162为? 的无偏估计，求k；并给出

215S2?24xS 的分布

（不证明），利用t分布、 正态分布、 ?分布的关系，证明：

（10分）

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2t(15)

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二、计算题（共60分） 1.（40分）设x1,x2,,xn来自总体为

???1?x?,x???ep(x;?,?)???,(??0)的样本。

?0,x???（1）当??0的时候，求?的极大似然估计?MLE，并判断?MLE是否为?的 无偏估计。（15分）

（2）当??0的时候，求?的Fisher信息量I(?)，给出?的无偏估计的

C-R下界。（7分）

（3）当??1的时候，求?的最大似然估计?MLE，并给出?MLE的密度函

数。（10分）

（4）?有三个不同的估计?1,?2,?3的时候，若三个都为无偏估计，怎样判

断其优劣，若至少有一个不是无偏估计的时候，怎样判断其优劣，给 出你的方法。（6分）

（5）当??0的时候，对于假设检验问题：H0:???0给出拒绝域的形式，不用计算。（2分） 2.（20分）设x1,x2, vsH1:???0，

,xn来自总体为N(?,?2)的样本，已知?2?16

显著性水平??0.05 ，

（1）对于假设检验问题：H0:??8vs H1:??8，给出检验统计量，

并给出拒绝域，当n?64，样本均值为7.8的时候，是否拒绝原假设。

（10分）

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（2）给出?的1??双侧置信区间，并给出假设检验问题：

H0:???0（10分） vsH1:???0的拒绝域，说明两者的关系。

三、应用题（共40分）

1.（20分）某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类型产品，随机选择使 用原料A生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg），样本标准差为 0.57（kg），取使用原料B生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg）, 样本标准差为0.48（kg），设产品质量服从正态分布，两样本独立。 （1）若有经验说明，两总体方差相等，在??0.05时候，问能否认为使用

原材料B生产的平均质量较使用原料A生产的平均质量显著大。（10分） （2）若对于两总体方差没有任何的经验信息，怎样检验两总体均值是否有

显著差异？给出你的方法。（10分）

2.（20分）某厂有四个车间生产同一种产品，为了考查四个车间产品中某 元素含量是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取相同数量的样品 进行测量，结果如下： 车间 A1 A2 A3 A4 某元素含量（%） 2.84 2.95 2.73 3.18 3.04 2.90 3.08 2.98 3.18 3.26 3.48 3.35 3.30 3.06 3.24 3.41 2.99 3.10 3.19 3.27 2.86 3.13 3.04 2.94 2.96 3.24 3.36 3.11 3.15 3.18 3.30 3.06 （1）假定数据满足方差分析的条件，给出总偏差平方和ST，因子平方和SA

S（8分） 和误差平方和e的计算公式及其之间的关系。

（2）在（1）的条件下，完成下表 （6分）

方差分析表 来源 因子A 误差e 总和T 平方和 5081.5 9685.875 自由度 ---- 第 3 页

均方 --- F比 --- ---