课题数列综合问题(1) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/6/18 2:41:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

课题:数列综合问题(1)

教学目标:通过研究数列的特征和性质,让学生掌握判定数列中的项的常用方法,学会处理数列单调性的相关问题,从而提高学生对问题分析、转化与突破的能力. 教学重点:求解方程整数解的方法与作差法处理数列的单调性. 教学难点:方程整数解的存在性判定,离散型不等式恒成立的转化. 教学过程: 明确本课的主题.

研究对象:通项an与和式Sn; 研究模型:等差数列和等比数列. 研究问题:(1)判断是否为数列中的项; (2)数列中项的相关性质(最值与单调性). 一.小题训练

1.若数列{an}满足:a1?2,an?1?an?3,则26为数列{an}中的第 项. 2.若公差非零的等差数列{an}中a1?1且a1,a3,a9成等比数列,则a9? . 3.若数列{an}的前n项和为Sn?An2?Bn,其中S1??7,S2??12,则an? . 参考答案:

1.等差数列,从而an?3n?1,从而a9=26;或者n?an?a1d?1?9.

2.先求基本量,则(1?2d)2?(1?0d)(1?8d),得d?1,从而an?n,即a9?9.

3.判断为等差数列,从而an?2n?9;利用待定系数法,得Sn?n2?8n,从而an?2n?9. 二.例题分析 1.判定从属关系

例1(必修5,p32,习题2.1,4)已知数列{an}的通项公式是an?n2?3n?2,56是这个数列中的项吗?如果是,是第几项?

分析:只需要判定方程是否有正整数解.

4?0,解:构建方程n?3n?2?56,则n?3n?5解得n??9或者n?6,说明56是数列{an}中的第6项.

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点评:处理关键是建立方程,从而加以求解.其可以通过因式分解或者配方的方法处理. 变式1:若数列{an}的通项为an?n3?3n?2,判断56是否为数列{an}中的项?

n?3n?54=0,分析:此时基本的想法是构造方程n?3n?2=56,整理得:现在问题是如何解?

方法1:为了求未知数n,经过分析n(n2?3)?54,则n2?3?54n33

说明n为54的正因子,所以n?1,2,3,6,9,18,27,54,此时已经缩小了范围,经过检查,每个都不是解,说明56不是其中的项.

方法2:利用方程与函数的关系,把方程的解转化成函数的零点,从而构造:

f(x)?x3?3x?54,又f?(x)?3x2?3,从而函数在[0,??)单调增,

又因为f(3)?0,f(4)?0,从而根据零点的存在性定理,知零点x0?(3,4), 故不存在正整数解,即56不是其中的项.

点评:通过以上特殊问题的研究,不难发现判定项的问题,其实就是建立方程加以求解. 其方程具有特殊性,求整数解,除了可以利用函数的观点来处理,还可以有独特的处理方法,即因子分析加以缩小范围.

2222真题1(2009江苏) 设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足a2,?a3?a4?a5S7?7. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)试求所有的正整数m,使得amam?1am?2为数列{an}中的项. 分析:等差数列的基本量,题目中提供了两个等量关系,所以容易得到首相和公差,从而得到通项和和式.而第二小问,需要我们判断是否为其中的项,首先要具体化,从而来观察,发现分子两次,分母一次,希望“作除法”的过程中没有余数,既能被整除.

2222解答:(1)设公差为d,则a2,由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3),因为d?0, ?a5?a4?a3所以a4?a3=0,即2a1?5d=0,又由S7?7得a4?1,a1?3d?1,解得a1??5,d?2, 所以{an}的通项公式为an?2n?7,前n项和Sn?n2?6n. (2)

amam?1am?2?(2m?7)(2m?5)2m?3?(am?2?4)(am?2?2)am?2?am?2?6?am8?2为整数,从而

amam?1am?2因为am?2是奇数,所以am?2可取的值为?1,当am?2?1,m?3时,当am?2??1,m?1时,

amam?1am?2?3为数列中第5项;

??15不是数列中的项,从而满足条件的正整数为m?2.

点评:对于整数的问题,我们要思考其特殊性,如果我们了解一点整数理论的知识,也许我们可

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以通过相邻三个奇数是两两互质的,那么很快可以得到分母只能是?1,从而更快捷的解决问题. 2.判断单调特性

例2`(必修5,p32,习题2.1,6(2))已知数列{an}的通项公式是an?n2?8n?5,这个数列所有项中有没有最小项?

分析:由于数列是离散型的函数,因此可以通过图象加以观察.

解答:通过配方,an?(n?4)2?11,所以当n?4时,此项最小,即第四项是最小项. 点评:数列也是一种函数,其特殊性在于离散型,可以参考函数的研究方法.

变式2. 已知数列{an}的通项公式为an?n2?kn?5,若对于任意正整数n,都有an?1?an,则实数k的范围为 .

分析:我们刚才把这个问题看成函数处理的,此时判断对称轴的位置,那么本题是否也可以借鉴,那需要注意什么?如果不这么处理,我们该如何刻画一个比一个大?这种比较大小该如何转化? 方法1:函数的观点.考察函数y?x2?kx?5,其对称轴与1,2比较而言,应该靠近1,从而

3,即k??3. x??k2?2方法2:不等式比较.转化为恒成立问题,具体化之后(n?1)2?k(n?1)?5>n2?kn?5恒成立, 整理得:k??(2n?1)恒成立,从而k??3.

点评:虽然数列是特殊的函数,可以从单调性(图象)来观察,但要注意其离散性,这对我们以后讨论一些离散型的问题应该有所启发.两者相比较而言,就本题而言,比较倾向于“比较法”. 练习:若数列{an}的通项为an?2n?n2,则数列{an}是否存在最小项?

分析:暂时不能画出其函数图象,但可以从函数的角度观察到:当自变量足够大的时候,应该整体是单调增的,从而只需要考虑前面几个,因此可以通过“走几步看看”来实现作为填空题的愿望,同时也能得到一个直观的感觉,从而可以选择“先猜后证”的处理方法.

a1?1,a2?0,a3??1,a4?0,a5?7,a6?28,,

从而感觉到最小项是第三项,我们如何加以证明呢?

x2x2方法1:通过对函数y?2,y?x关系的研究,发现只有当2?x?4时,2?x?0,从而最

小项确定.

方法2:通过an?1?an的正负来判断增减性.an?1?an?2n?(2n?1),可知当n?3时,

2n?(2n?1)?(1?n?

?n?1)?(2n?1)?0,从而从第三项起,数列单调递增,于是只需要考

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