内容发布更新时间 : 2025/1/1 6:50:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3/2a而

?在在r=a和r=2a处的比值为：

00

e≈

2

21s?01?1?a0??e??a0?e?1??2?e?2.718283/22a0?e1?1?a0??e??a0?

【】计算氢原子的1s电子出现在r?100pm的球形界面内的概率。

?nax?xneaxnn?1axxedx??xedx?c???aa???

解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的概率为：

100pm?2?P??

????00021sd?

2r100pm100pm?2??01?a021ersin?drd?d?????a03?a0300?0re2?2ra0?2?dr?sin?d??d?00

4?a0?100pm?02ra0re2?2ra04dr?a0r??2a0r2a02ra03??a0????e????224??????0100pm100pm

那么，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面之外的概率为=。

00r【】计算氢原子的积分：

时的r值，说明在该r值以内电子出现的概率是90%。

?2r22r??e??2??1?a0?a0?0

?0.728

2?

P(r)???????12sr2sin?drd?d?，作出P(r)?r图，求P(r)=

P?r??解：

2???????00r221srsin?drd?d?

22?1?1?r?2?????e?rsin?drd?d???d??sin?d??e?2rr2dr??00r??00r

??12?2r??2r?2?2r?4?redr?4??re??redr?rr?2?

?12?2r1?2r1??2r??4??re?re??edr?22r?2?

2?????11?1??4??r2e?2r?re?2r?e?2r?24?2?r

?e?2r?2r2?2r?1?

?

根据此式列出P(r)-r数据表： r/a0 0 P(r)

根据表中数据作出P(r)-r图示于图中：

Pr?0.1

由图可见：r?2.7a0时，??Pr?0.1

r?2.7a0时，??Pr?0.1

r?2.7a0时，??即在r=2.7a0的球面之外，电子出现的概率是10%，而在r=2.7a0的球面以内，电子出现的概率是90%，即：

2??2.7a0???000?12sr2sin?drd?d??0.90

1.00.8 P(r)0.60.40.20.0012345 r/a0图 P(r)-r图

【】已知氢原子的归一化基态波函数为

3?1s???a0??1/2exp??r/a0?

(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量； (b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。

解：（a）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton算符作用于ψ1s时，若所得结果等于一常数乘以此ψ1s,则该常数即氢原子的基态能量E1s。氢原子的Hamiltton算符为：

22he2???H??28?m4??0r

?与θ，ф无关： 由于ψ1s的角度部分是常数，因而H22h1??e??2???H?r??228?mr?r??r?4??0r

?作用于ψ1s，有： 将H?h21??2??e2??H?1s???2??1s?r??2?8?mr?r??r?4??0r?

h21??2??e2??2?1s?r??1s?8?mr2?r??r?4??0r

2?h21??e22???2?1s???1s?2r?1s?r8?mr2??r?r24??r?0

rr?a?ah21e2?1?5?72?12222??2?2r?a0e?r?ae??1s8?mr24??0r

00?0??h2?r?2a0?e2???????1s228?mra4??r00?? 22?he???22??2?1s?8?ma04??0a0? （r=a0）

所以

h2e2E1?22?28?ma4??a000

=… -18

=×10J 也可用

??d?E???1*sH1s进行计算，所得结果与上法结果相同。

2注意：此式中d??4?rdr。

将角动量平方算符作用于氢原子的ψ1s，有：

?2????h??1??sin??M1s???????2???sin???? =0ψ1s

所以

2

M=0 |M|=0

21?1?2??a03?2?ae??0??2?2?sin????

r?不含r项，而ψ1s不含θ和ф，角动量平方当然为0，角动此结果是显而易见的：M2量也就为0。

通常，在计算原子轨道能等物理量时，不必一定按上述作法、只需将量子数等参数代人简单计算公式，如：

En??2.18?10M?l?l?1?即可。

?18Z*?2Jn

h2?

?1（b）对氢原子，V?r，故：

T??1V2

E1s?T?V??11V?V?V22

V?2E1s?2?(?13.6eV)??27.2eV

T??此即氢原子的零点能。

z11V?(?)?(?27.2eV)?13.6eV22

?r??r?exp?????342?a0?a0??a0?cos?，试回答下列问题：

1?2p?【】已知氢原子的(a)原子轨道能E=

(b)轨道角动量|M|=轨道磁矩|μ|= (c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度

(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 (e)节面的个数、位置和形状怎么样 (f)概率密度极大值的位置在何处 (g)画出径向分布示意图。 解：（a）原子的轨道能：

E??2.18?10?18J?（b）轨道角动量：

1??5.45?10?19J22 hh?22?2?

M?l(l?1)轨道磁矩：

（c）轨道角动量和z轴的夹角：

??l?l?1??ehM2??0cos??z?hM2?o2?， ??90

0?（d）电子离核的平均距离的表达式为：

*?r???2pzr?2pzd?

???0（e）令

?2p?0z??0?2?022?2pr?rsin?drd?d?z，得：

0

r=0，r=∞，θ=90

节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故

?2pz的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点

0

也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分Y?3/4?cos??0，求得θ=90。

（f）几率密度为：

2???2pz

?r??ar2?ecos???332?a0?a0?

102

????sin??0000

??由式可见，若r相同，则当θ=0或θ=180时ρ最大（亦可令，θ=0或θ

0

=180），以?0表示，即：

?r??aroo?0??(r,??0,180)??e3?32?a0?a0?

将?0对r微分并使之为0，有：

1022r?????d?0d1ra0???e?3?drdr?32?a0?a0????

r?1r?a0??re2????0532?a0a0?? 又因：

解之得：r=2a0（r=0和r=∞舍去）

d2?0|?02r?2a0 dr

2?2所以，当θ=0或θ=180，r=2a0时，p有极大值。此极大值为：

0

0

z1?2a0??2aae?2?m??e?3?332?a0?a0?8?a0

?3 ?36.4nm

002D2pz（g）

根据此式列出D-r数据表： r/a0

?1a0D/

5?r?r2???1114?a02a0?222??rR?r?re?re5?26??24a0?a0?????

20 0 ×10 -2

×10 -3

r/a0

?1a0D/ 按表中数据作出D-r图如下： 0.20D(r)/a0-10.150.100.050.000246810012r/a