内容发布更新时间 : 2024/12/31 7:07:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

空间点、直线、平面间的位置关系

[知识能否忆起]

一、平面的基本性质 名称 图示 文字表示 如果一条直线上的两公理1 点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 过不在一条直线上的公理2 三点，有且只有一个平面 如果两个不重合的平公理3 二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类

?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

?共面直线??

?平行直线：同一平面内，没有公共点；??

?异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

符号表示 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α 面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

2．平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．

π

0，?. (2)范围：??2?

三、直线与平面的位置关系

位置关系 直线l在平面α内 图示 符号表示 l?α 公共点个数 无数个 直线l与平面α相交 直线l与平面α平行 四、平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交

[小题能否全取]

α∩β＝l 图示 符号表示 α∥β l∩α＝A l∥α 一个 0个 公共点个数 0个 无数个(这些公共点均在交线l上) 1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A．异面 C．不可能平行

B．相交 D．不可能相交

解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．

2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选C ①④错误，②③正确．

3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )

A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD

相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．

4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．

解析：连接B1D1，D1C， 则B1D1∥EF，

故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°. 答案：60°

5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．

解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1

平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．

答案：5

1.三个公理的作用

(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线． 2．异面直线的有关问题

(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．

(2)所成的角的求法：平移法．

平面的基本性质及应用