内容发布更新时间 : 2024/6/29 9:12:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章习题详解

1． 利用导数定义推出： 1) zn???nz'n?1（n为正整数）

解： zn??'1?n2n?n?1n?2n??????z?nz?z?nn?1z?z????z?znn???z??z??z2?? ?lim?lim?z?z?z?0?z?0 ?'?n?11n?1?n?2n?1????nz?nn?1z?z????z?nz lim??2??z?0?1?1?2) ????2

z?z?11?1??z?11?1?z??zz????解： ???lim limlim2?????zz?z??z?0?z?0?zzz??z?z?0zz??z'2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1)

f?z??x2?iy

2解：设f?z??u?iv，则u?x，v??y

?u?v?u?v?0，??1都是连续函数。 ?2x，?0，?y?y?x?x1时才满足柯西—黎曼方程。 21?f?z??x2?iy在直线x??上可导，在复平面内处处不解析。

2只有2x??1，即x??2)

f?z??2x3?i3y3

33解：设f?z??u?iv，则u?2x，v?3y

?u?v?u?v?0，?9y2都是连续函数。 ?6x2，?0，?y?y?x?x3y?0时才满足柯西—黎曼方程。

22只有6x?9y，即2x??f?z??2x3?i3y3在直线2x?3y?0上可导，在复平面内处处不解析。

3)

f?z??xy2?ix2y

22解：设f?z??u?iv，则u?xy，v?xy

?u?v?u?v?2xy，?x2都是连续函数。 ?y2，?2xy，?y?y?x?x22只有y?x且2xy??2xy，即x?y?0时才满足柯西—黎曼方程。

?f?z??x2?iy在点?0,0?处可导，在复平面内处处不解析。

4)

f?z??sinxchy?icosxshy

解：设f?z??u?iv，则u?sinxchy，v?cosxshy

?u?v?u?v?sinxshy，?cosxchy都是连续函数。 ?cosxchy，??sinxshy，?y?y?x?x完全满足柯西—黎曼方程。

?f?z??x2?iy在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。

3． 指出下列函数f?z?的解析性区域，并求出其导数。 1)

?z?1?5

'解：f3?z??5?z?1?4，f?z?在复平面内处处解析。

2) z?i2z 解：f'?z??3z2?2i，f?z?在复平面内处处解析。

3)

1 z2?1'解：f?z???2z?z2?1?2，z??1，f?z?在复平面内除点z??1外处处解析。

4)

az?b（c，d中至少有一个不为0）

cz?d'解：f?z??aaz?bad?bc?c? 22cz?d?cz?d??cz?d?ad?bcdd'??fzz??时，f?z??，在复平面内除点外处处解析。 2cc?cz?d?' 当c?0，则当z??当c?0时，则d?0，f4． 求下列函数的奇点：

?z??a，f?z?在复平面内处处解析。 d1)

z?1 2z?z?1?解：令zz?1?0，解得z?0，z??i。故f?z??2??z?1有0、i、?i三个奇点。 2??zz?12)

z?2 22?z?1??z?1?22解：令?z?1?z?1?0，解得z??1，z??i。故f?z????z?2有?1、i、?i三个奇点。 22?z?1??z?1?5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？

解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数

f?z??u?x,y??iv?x,y?在其定义域D内解析?u?x,y?和v?x,y?在D内点z?x?iy可微，并且满

足柯西—黎曼方程。

6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。

'1) 如果f?z?在z0连续，那末f?z0?存在；

解：假命题。例如，f?z??x?2yi在复平面内任意一点z0都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故f不存在。 2) 如果f''?z??z?存在，那末f?z?在z0解析；

22解：假命题。例如，f?z??xy?ixy，f?z?在点z0?0可导，但f?z??x?2yi在z0点不解析。

3) 如果z0是f?z?的奇点，那末f?z?在z0不可导；

解：假命题。例如，f?z??x?yi在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但f?z?在x?y?0上

33的点均可导。

4) 如果z0是f?z?和g?z?的一个奇点，那末z0也是f?z??g?z?和

f?z?g?z?的奇点；

解：假命题。例如，f?z??z与g?z???z在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点z0都是f?z?与

g?z?的奇点。但f?z??g?z??z??z?0在复平面内处处解析，即f?z??g?z?在复平面内没有奇点。

5) 如果u?x,y?和v?x,y?可导（指偏导数存在），那末f?z??u?iv亦可导；

解：假命题。例如，设f?z??x?2yi，则u?x,y??x，v?z??2y均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此f?z?不可导。

6) 设f?z??u?iv在区域D内是解析的。如果u是实常数，那末f?z?在整个D内是常数；如果v是实

??常数，那末f?z?在D内也是常数。 解：真命题。下面证明：

因为f?z??u?iv在区域D内解析，即满足柯西—黎曼方程：

?u?v?u?v???， ?x?y?y?x 如果u是实常数，则

?u?v?u?v??0，???0，即v为实常数，故f?z?在D内为常数。 ?x?y?y?x?u?v?u?v??0，???0，即u为实常数，故f?z?在D内为常数。 ?x?y?y?x22 如果v是实常数，则

2??????'?????7． 如果f?z??u?iv是z的解析函数，证明：?。 f?z????fz?fz????x???y?证明：?f?z??u?iv ?f?z??2u2?v2

?v???u22u?2v??x?1????x??fz??2 ????22u?v2??x??2u?v?????2?v???u?v? ?u?x???x2?v???u2u?2v22??y???1??u?v??y???2?u?v? ?2???yf?z?????? 22?y?yu?v?2u?v????????? ?f?z??u?iv在点z处解析，?22?u?v?u?v???， ?x?y?y?x22?1??u?v?1??u?v???????????f?z????fz?u?v?u?v ???2222???y?? ?x?x?x?y?yu?vu?v????????

1?2u?v21?2u?v21?2u?v22222???u?v???u?v??1???u?v???v?u???v???u?v???u????u2?v2??u?x?v?x????u?x?v?x?? ?x?x?y?y????????????????222?2??u?2???u?v???u?v?2??v?2??v?2??u???v???u???2uv???v??? ?u???2uv???x?x???x???x???x?x???x?????x???22222?2??u?2??v?v?u?u?v??????????222?u???v???u???v?????????

??x???x???x??????x????x???x?2?u?v??u???v??f'?z???i ?f'?z??????? ?

?x?x?x????x?222??????'?????f?z????fz?fz ???y??x????228． 设my?nxy?ix?lxy3232?32?为解析函数，试确定l、m、n的值。

32解：设u?x,y??my?nxy，v?x,y??x?lxy，则

?u?v?u?v?3my2?nx2，?2lxy ?2nxy，?3x2?ly2，?y?y?x?x?u?v? ?2nxy?2lxy ? n?l ?x?y?u?v2222?? ?3my?nx???3x?ly? ? ?y?x ???n??3 ??3m??l?n?l??3，m?1，my3?nx2y?i?x3?lxy2?为解析函数

9． 证明柯西—黎曼方程的极坐标形式是：

?u1?v?u1?v， ???rr???rr??证明：直角坐标与极坐标的转换公式为??x?rcos?，于是由复合函数求导得：

?y?rsin?

?u?u?x?u?y?u?u???cos??sin? ?r?x?r?y?r?x?y?u?u?x?u?y?u??rsin????u?rcos?? ??????x???y???x?y?v?v?x?v?y?v?v???cos??sin? ?r?x?r?y?r?x?y?v?v?x?v?y?v??rsin????vrcos? ??????x???y???x?y?u?v?u?v???， ?x?y?y?x

?

?v?v?v?u?u?cos??sin???cos??sin? ?r?x?y?y?x

??u??v?v?u???rsin????vrcos??r? ?sin??cos??????x?y?x??y???r??v??urcos???u??rsin????r?y?x即：

?u1?v?u?u?u?sin??cos??

??r???y?x?r?u1?v?u1?v??， ?rr???rr??