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超级狩猎者

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?cos(x)sin221,则y??＿＿＿＿＿＿. x(2) 微分方程y???y??2x的通解为＿＿＿＿＿＿.

2??x?1?t(3) 曲线?在t?2处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 3??y?t(4) lim(n??12n??L?)?＿＿＿＿＿＿. 222n?n?1n?n?2n?n?n2(5) 曲线y?x2e?x的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设f(x)和?(x)在(??,??)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)?0,?(x)有间断点,

则 ( ) (A) ?[f(x)]必有间断点 (B) [?(x)]2必有间断点 (C) f[?(x)]必有间断点 (D)

?(x)必有间断点 f(x)(2) 曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围图形的面积可表示为 ( )

(A) ?(B)

?20x(x?1)(2?x)dx

21??10x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

10(C) ?(D)

?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

1220x(x?1)(2?x)dx

(3) 设f(x)在(??,??)内可导,且对任意x1,x2,当x1?x2时,都有f(x1)?f(x2),则

( )

(A) 对任意x,f?(x)?0 (B) 对任意x,f?(?x)?0 (C) 函数f(?x)单调增加 (D) 函数?f(?x)单调增加

(4) 设函数f(x)在[0,1]上f??(x)?0,则f?(1)、f?(0)、f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小

超级狩猎者

顺序是 ( ) (A) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B) f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C) f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D) f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) (5) 设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?|sinx|),若使F(x)在x?0处可导,则必有 ( )

(A) f(0)?0 (B) f?(0)?0 (C) f(0)?f?(0)?0 (D) f(0)?f?(0)?0

三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1) 求lim?x?01?cosx. x(1?cosx)f(y)(2) 设函数y?y(x)由方程xed2y?e确定,其中f具有二阶导数,且f??1,求2.

dxyx2(3) 设f(x?1)?ln2,且f[?(x)]?lnx,求??(x)dx.

x?221?xarctan,x?0,?2(4) 设f(x)??试讨论f?(x)在x?0处的连续性. x?? 0, x?0,(5) 求摆线??x?1?cost一拱(0?t?2?)的弧长.

y?t?sint?(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度vt?0?v0,已知阻力与速度成正比(比例常

数为1),问t为多少时此质点的速度为

四、(本题满分8分)

求函数f(x)?v0？并求到此时刻该质点所经过的路程. 3?x20(2?t)e?tdt的最大值和最小值.

五、(本题满分8分)

x设y?e是微分方程xy??p(x)y?x的一个解,求此微分方程满足条件yx?ln2?0的特

解.

六、(本题满分8分)

超级狩猎者

如图,设曲线L的方程为y?f(x),且y???0,又MT,MP分别为该曲线在点

M(x0,y0)处的切线和法线,已知线段MP的长度为???y??(x0)),试推导出点P(?,?)的坐标表达式. y0

七、(本题满分8分)

设f(x)?(1?y?)??y?(x0), (其中y0??y03220y P(?,?) ? L M(x0,y0) T O x ?x0?sintdt,计算?f(x)dx.

0??t

八、(本题满分8分)

设limx?0f(x)?1,且f??(x)?0,证明f(x)?x. x