内容发布更新时间 : 2024/5/3 1:01:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
一、写出n?5时 Lagrange插值基函数l2(x)的表达式；
解：l2(x)?(x?x0)(x?x1)(x?x3)(x?x4)(x?x5)
(x2?x0)(x2?x1)(x2?x3)(x2?x4)(x2?x5)f?(1)?3，试求次数不超
二、设f(x)的函数值及导数值为：f(0)?1,f(1)?2,过2的插值多项式。
解：因为若f(x)在[a,b]上有三阶连续导数，已知f(x)在[a,b]上两个互异点
x0,x1上的函数值f(x0)，f(x1)和一阶导数值f?(x1)，则次数不超过二次的插值多项式为
(x?x0)(x?2x1?x0)(x?x0)(x?x1)(x?x1)2L2(x)?f(x)?f(x)?f?(x1) 0122(x0?x1)(x0?x1)x1?x0并且插值余项为
1R(x)?(x?x0)(x?x1)2f???(?),??(a,b)
6所以本题的插值多项式为
L2(x)?(x?1)2?2x(x?2)?3x(x?1)?1?x?2x2 三、x的插值二次式p2(x)，使得p2(121)?11,p2(169)?13,p2(225)?15，
计算145的近似值。 解：l0(x)?(x?169)(x?225)1?(x?169)(x?225)
(121?169)(121?225)4992(x?121)(x?225)1??(x?121)(x?225)
(169?121)(169?225)2688(x?121)(x?169)1?(x?121)(x?169)
(225?121)(225?169)5824111315(x?169)(x?225)?(x?121)(x?225)?(x?121)(x?169)499226885824l1(x)?l2(x)?插值多项式为
L2(x)?故145的近似值为
111315L2(145)?(145?169)(145?225)?(145?121)(145?225)?(145?121)(145?169)499226885824 ?21120?24960?8640?12.032967
499226885824四、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线y(x)?a0?a1x?a2x2
k xk yk1 -2 10 2 -1 1 3 0 0 4 1 2 5 2 9 解：取?(x)?1，?0(x)?1，?1(x)?x，?2(x)?x2，p2(x)?a0?a1x?a2x2，由于 ?1?5，?xi?0，?x?10，?x?0，?x?34，?yi?22，
2i3i4ii?1i?1i?1i?1i?1i?1555555?xyii?15i??1，?xi2yi?79，从而可得法方程组为
i?15?5010??a0??22???????0100???a1????1? ?10034??a??79????2???解次方程组可得
a0??0.6 a1??0.1 a2?2.5 故所求二次拟和合曲线为y??0.6?0.1x?2.5x2。
五、设x0,x1,x2,???,xn是互不相同的节点，li(x)是插值基函数，求证：对任何
?(xik=0,1,2,…,n下式成立： （1） ?xili(x)?x （2）
kki?0nni?0?x)kli(x)?0
证明：(1) 令f(x)?xk （k?0,1,2,nn,n）， 则f(x)的Lagrange插值多项式为
Ln(x)??li(x)f(xi)??li(x)xik
i?0i?0其中li(x) (i?0,1,2,插值余项为
,n)为Lagrange插值基函数。
Rn(x)?f(x)-Ln(x)?n1f(n?1)(?)?n?1(x)
(n?1)!其中 ?n+1(x)??(x?xi)，?在x0,x1,i=0,xn之间.
由于f(x)?xk (k?0,1,2,,n)故f(n?1)(x)?0，从而Rn(x)?0,
即f(x)?Ln(x)), 故
n ?l(x)xk??xk (k?0,1,2,iii?0,n)
(2) 根据二项式展开定理有： ?(xi-x)li(x)??(?Cx(?x)knjjii?0i?0j?0nnkk?jk?jj)li(x) ???Cn(?x)xili(x) jj?0i?0kn =?C(?1)njj=0knjkk?jxk?j?xl(x) (由(1)结论可得)
jiii=0k?jkx??Cn(?1)x jjj?0nn ??C(?1)j?0k?jxk?j ?x六、 证明：若f(x)?k?Cj?0nnj(?1)k?j?xk(1-1)k?0
1,则f(x)在节点x0,x1,,xn处的 n 阶差商为 a?x1 f[x0,x1,x2,,xn]?(a?x0)(a?x1)(a?xn)证明：当n=1时，有
f(x0)?f(x1)1 f[x0,x1]? ?x1?x0(a?x0)(a?x1)结论成立，假设当n=k-1时成立，对n=k有
f[x0,x1,x2,,xn?1]?f[x1,x2,,xn] f[x0,x1,x2,,xn]?
x0?xn111?[?] (x0?xn)(a?x0)(a?x1)(a?xn?1)(a?x1)(a?x2)(a?xn)111?[?] (a?x1)(a?xn?1)(x0?xn)(a?x0)(a?xn)1 ?(a?x0)(a?x1)(a?xn)所以对任何n上式都成立，证毕。
七、已知函数y?f?x?的数据如下： f?0??2,f?1??3,f?2??12， f?5??147 （1）求y?f?x?的三次Lagrange插值多项式及牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。
（2）如果再增加一个节点f?3???1，试利用（1）的结果，来求在新的条件下，y?f?x?的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。 解：（1）Lagrange插值多项式：