内容发布更新时间 : 2024/5/19 1:54:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§6.2 等差数列及其前n项和

最新考纲 1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

?Sn?1

(7)若{an}是等差数列，则?n?也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.

2??

5．等差数列的前n项和公式

n?a1＋an?n?n－1?

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.

226．等差数列的前n项和公式与函数的关系 dd

a1－?n. Sn＝n2＋?2??2

数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 概念方法微思考

a＋b

1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？

2提示 充要条件．

2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？

提示 不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数． 3．如何推导等差数列的前n项和公式？ 提示 利用倒序相加法．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．

( × )

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )

(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )

(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ ) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．

( √ )

题组二 教材改编

2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A．31 B．32 C．33 D．34 答案 B

?a1＋5d＝2，?

解析 由已知可得?

?5a＋10d＝30，?1

?

解得?4

d＝－?3，

答案 180

26a1＝，

3

8×7

∴S8＝8a1＋d＝32.

2

3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ .

解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 题组三 易错自纠

1

4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范

25围是( ) 8

A．d>

7583C.

??a10>1，解析 由题意可得?即

?a9≤1，?

3

B．d<

2583D.

??1

?25＋8d≤1，

1

＋9d>1，25

83

所以

7525

5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大． 答案 8

解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.

故当n＝8时，其前n项和最大．

6．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过 秒落到地面． 答案 20

解析 设物体经过t秒降落到地面．

物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 1

所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，

2即4.90t2＝1 960，解得t＝20.

题型一 等差数列基本量的运算

1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( ) A．－12 C．10 答案 B

解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，

B．－10 D．12