内容发布更新时间 : 2024/12/23 4:34:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第三章 静磁场
B0,构建两个满足规范条件??A?0的矢势A,并证明二者之差的旋度为零.
【解】 取直角坐标(x,y,z),不妨设B?Be,则可构建如下两个矢势:
00zA1?B0xey, A2??B0yex,
3.1
对均匀磁场
满足题设条件.显然二者之差的旋度为零:
??(A1?A2)?B0??(xey?yex)?0.
3.2 等于
证明对任何局域电流分布所产生的磁场
B,具有如下性质:当全部电流位于某球体之内,则B在该球体内的体积分
2?0m/3,m为局域电流分布的磁矩;当全部电流位于球体之外,则相应磁场体积分等于球心磁场和球体体积
的乘积.(参见2.3题的提示.) 【证】 不妨设球半径为
???代入矢势
r?aa,取球心为坐标原点,则
B(r)dV??????A(r)dV????r?ar?aA(r)?dσ.
A的表达式
A(r)?得
?04?j(r?)???|r?r?|dV?
dσ
r?ar?a|r?r?|?(r??r)dV??0???j(r?)dV?????.
r?a|r?r?|34?利用提示的积分公式,对全部电流位于球体之内,即r??a的情况有
?02?04????BdV???j(r)?rdV?m;
???r?a???4?33对全部电流位于球体之外,即r??a的情况有
?04?a34?a3dV???j(r?)?r?dV??B(0),
???r?Ea4????3r?33???BdV???04????j(r?)dV????证毕.
a的圆柱壳的轴向面密度为i?i0(1??cos?)(i0和?为常数),求柱内外磁场分布.
【解】 本题属于圆柱坐标(?,?,z)下的二维二分量问题,矢势只有z分量,且与z无关:A?A(?,?)e.
z3.3
半径为
在圆柱内外,写为
A均满足拉普拉斯方程,可用分离变数法求解.考虑到圆柱表面电流的特殊分布形式,尝试将圆柱内、外的解分别
1
A1?a1?b1?cos?, A2?a2?b2ln??c2??1cos?.
由??a处的边值关系
A1??a?A2得
??a,
??A1???A2????????????????0i0(1??cos?), ????a????aa1?b1acos??a2?b2lna?c2a?1cos?,
b1cos??b2a?1?c2a?2cos? ??0i0(1??cos?).
从上述关系式可以解得
a1?a2?b2lna?A0, b1??0i0?/2,
b2???0i0a, c2??0i0?a2/2,
从而最终求得圆柱内外的矢势和磁场分布:
2????0i0aA1?A0??cos?,A2?A0??0i0aln???cos?,
22??a??i?B1??00(sin? e??cos? e?),
2??0i0?a2?0i0a??a??B2??sin? e?1?cos? e?.
?2??2???2??3.4 电荷和物质均匀分布的球以角速度?自转,其半径为a,电量为Q,质量为M,求它的磁矩和角动量,以及二
?0i0?者的比值.
【解】 取球坐标,极轴沿自转轴方向,球内电流密度为
j??v?由对称性,磁矩只有
z分量(沿自转角速度方向),数值为
a?13Q?Q?a243m?ez????r?jdV?dr?rsin?d??24a3?5003Qω?r3Q?rsin??e?. 334?a4?a.
I?2Ma2/5,角动量为I??2M?a2/5,也沿角速度方向.于是磁矩和角动量的
比值为q/(2M).
3.5 从毕奥－沙伐尔定律出发,证明电流强度为I的闭合线圈的磁场可表为B??I??/(4?),式中
0球的转动惯量为
2
?????(r?r?)?dσ|r?r?|3
为线圈相对考察点所张的立体角,为以线圈为边界的任意曲面.当线圈法向背离考察点时,上述立体角为正,指向考察点时, 上述立体角为负;线圈法向与电流方向之间满足右手定则. 【证】 由毕奥－沙伐尔定律得
??0Idl??(r?r?)?0I1? ??dl??3????4?|r?r|4?|r?r|?I?I11?0?dl?????0??(dσ???)???
4?|r?r?|4??|r?r?|?I?I11?0??(dσ???)???0????2dσ.
4??|r?r?|4??|r?r?|上式右边第二项的被积式等于?4??(r?r?),其面积分消失;第一项化为
?I?I11B??0??(dσ???)???0???(dσ???)
??4?|r?r|4?|r?r|?I(r?r?)?dσ?0I?0??????,
4?|r?r?|34?B?证毕. 3.6
设铁磁体的磁化规律为
的球内外的磁感应强度.
【解】 用磁标势方法求解.注意到铁磁体的固有磁化强度均匀,对应的磁荷只分布于球表面.因此,球内外的磁标势均满足拉普拉斯方程.采用球坐标(
aB??H??0M0,式中?和M0为常量.计算由该铁磁体制成的半径为
r,?,?),极轴沿M0方向,尝试写下球内外的解如下:
b?b???0?1cos??m1?a0?a1rcos?, ?m2?a0rr2,
式中系数由球面上的边值关系
?0??m2?r?m1|r?a??m2|r?a, ????m1???m???0M0cos?r?a?r
r?a确定.将尝试解代入上述边值关系得
??a0?a1acos??a0?b1?b0?cos?, aa2 3