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截长补短辅助线模型
模型:截长补短
如图①,若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.
截长法:如图②,在EF上截取EG=AB,再证明GF=CD即可.
补短法:如图③,延长AB至H点,使BH=CD,再证明AH=EF即可.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长,指在长线端中截取一段等于已知的线段;补短,指将一条短线端延长,延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
模型实例
例1:如图,已知在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2 . 求证:AB=AC+CD .
证法一,截长法:
如图①,在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE. ∵AE=AC,∠1=∠2,AD=AD, ∴△ACD≌△AED , ∴CD=DE,∠C=∠3 . ∵∠C=2∠B,
∴∠3=2∠B=∠4+∠B , ∴∠4=∠B , ∴DE=BE , ∴CD=BE.
∵AB=AE+BE, ∴AB=AC+CD .
证法二,补短法:
如图②,延长AC到点E,使CE=CD,连接DE .
∵CE=CD,∴∠4=∠E .
∵∠3=∠4+∠E,∴∠3=2∠E . ∵∠3=2∠B,∴∠E=∠B . ∵∠1=∠2,AD=AD,
∴△EAD≌△BAD,∴AE=AB. 又∵AE=AC+CE, ∴∴AB=AC+CD .
例2:如图,已知OD平分∠AOB,DC⊥OA于点C,∠A=∠GBD . 求证:AO+BO=2CO .
证明:在线段AO上取一点E,使CE=AC,连接DE . ∵CD=CD,DC⊥OA, ∴△ACD≌△ECD, ∴∠A=∠CED . ∵∠A=∠GBD , ∴∠CED=∠GBD ,
∴1800-∠CED=1800-∠GBD , ∴∠OED=∠OBD . ∵OD平分∠AOB, ∴∠AOD=∠BOD . ∵OD=OD,
∴△OED≌△OBD , ∴OB=OE,
∴AO+BO=AO+OE=OE+2CE+OE=OE+CE+OE+CE=2(CE+OE)=2CO .
1. 如图,在△ABC中,∠BAC=600,AD是∠BAC的平分线,且AC=AB+BD . 求∠ABC的度数 .
【答案】 证法一:补短
延长AB到点E,使BE=BD . 在△BDE中, ∵BE=BD,∴∠E=∠BDE, ∴∠ABC=∠BDE+∠E=2∠E . 又∵AC=AB+BD,
∴AC=AB+BE,∴AC=AE .
∵AD是∠BAC的平分线,∠BAC=600, ∴∠EAD=∠CAD=600÷2=300 . ∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD,∴∠E=∠C . ∵∠ABC=2∠E,∴∠ABC=2∠C . ∵∠BAC=600,
∴∠ABC+∠C=1800-600=1200,
3∠ABC=1200,∴∠ABC=800 . 2证法二:在AC上取一点F,使AF=AB,连接DF. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠FAD . ∵AD=AD,
∴△BAD≌△FAD,
∴∠B=∠AFD,BD=FD .
∵AC=AB+BD,AC=AF+FC ∴FD=FC ,∴∠FDC=∠C . ∵∠AFD=∠FDC+∠C, ∴∠B=∠FDC+∠C=2∠C . ∵∠BAC+∠B+∠C=1800, ∴∴
3∠ABC=1200,∴∠ABC=800 . 2
2. 如图,在△ABC中,∠ABC=600,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB . 求证:AC=AE+CD .