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初三数学第27章 二次函数小结与复习 华东师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第27章 二次函数小结与复习

二. 重点、难点： 1. 重点：

⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；

⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；

⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 2. 难点：

⑴二次函数图象的平移；

⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.

三. 知识梳理：

1. 二次函数的概念及图象特征

二次函数：如果y?ax2?bx?c?a?0?，那么y叫做x的二次函数．

b?4ac?b2，它的图象是以直线通过配方y?ax?bx?c可写成y?a??x???2a?4a?22b?b4ac?b2?为顶点的一条抛物线． x??为对称轴，以???2a,4a??2a??2. 二次函数的性质 a值 ⑵当x＝?函数的图象及性质 ⑴开口向上，并且向上无限伸展； b4ac?b2时，函数有最小值； 2a4aba＞0 当x＜?时，y随x的增大而减小； 2ab当x＞?时，y随x的增大而增大． 2a⑴开口向下，并且向下无限伸展； b4ac?b2⑵当x＝?时，函数有最大值； 2a4aa＜0 b 当x＜?时，y随x的增大而增大； 2ab时，y随x的增大而减小． 2a2223. 二次函数图象的平移规律 y?ax?y?ax?k?y?a(x?h)?k

当x＞?抛物线y?ax2?bx?c?a?0?可由抛物线y?ax2?a?0?平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式y?a(x?h)2?k来讨论．

24. a、b、c及b?4ac的符号与图象的关系

⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下． ⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：

b＜0＝在y轴的左侧； 2aba、b异号，对称轴（x??＞0）在y轴的右侧.

2aa、b同号，对称轴（x??⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置： c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上； c＝0，抛物线经过原点；

c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．

⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数： ①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； ②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； ③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 5. 二次函数解析式的确定

用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据

2不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：y?ax?bx?c（a≠0）；⑵设顶点形式：；⑶设交点式：y?a?x?x1??x?x2?（a≠0）. y?a?x?h??k（a≠0）

26. 二次函数的应用问题

解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.

【典型例题】

12

x+2x－1通过向 （左、右）平移 个单位，再向31___________（上、下）平移 个单位，便可得到二次函数y=－x2的图象.

311分析：y=－x2+2x－1的顶点为（3，2），y=－x2的顶点为（0，0），因此可以根据

33例1. 二次函数y=－

顶点坐标确定平移的方向和距离.

1211x+2x－1=－（x－3）2+2，∴把二次函数y=－x2+2x－1向左平移3个3331单位，再向下平移2个单位，便得到y=－x2的图象．

3解：y=－

例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0. ∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号. 又a＞0，∴b＞0.

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c﹤O. ∴ab＞0，ac﹤0.

∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0. ∵对称轴x=－

b=－1， 2a∴b=2a. ∴2a+b﹥0

当x=－1时，y=a－b+c﹤0. ∴选C.

例3. 如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（ ）

A. －

5 3B. 0 C. －

5或0 3

D. 1

分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，xA=OA；当点A在原点左侧时，xA+OA=0（注：点A在x轴上）.

解：设OB=x，则OA=3x（x﹥0），则B（－x，0），A（3x，0）. ∵－x，3x是方程－x2+2（m+1）x+m+3=0的根， ∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3.

5. 35又∵x﹥0，∴m=－不合题意.

3解得m1=0，m2=－∴m=0，因此选B.

例4. 已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值. 分析：二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值?a﹤0（a＞0）. 解：∵二次函数y=mx2+（m－1）x+m+1有最小值为0，

?m＞0?∴?4m(m?1)?(m?1)2

?0.?4m??m＞0,?即?3m2?2m?1

?0.?4m?解得m=1.

例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，