内容发布更新时间 : 2024/5/8 4:48:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

上海南汇中学2012学年第二学期期末考试

高一数学

一、 填空题（每小题3分，共12题，共36分）

1．若??2013，则与角?具有相同终边的最小正角为213o

2．一个扇形的半径是2 cm ，弧长是4 cm，则圆心角的弧度数为 2 3．已知sin??3cos?，则

ocos2?1? ? 1?sin2?24．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

①

②

③

…

按照上面的规律，第100个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 602 5．已知?ABC的三边长成公比为____??arccos2的等比数列，则?ABC的最大内角的大小为

2___（用反三角函数表示） 42??a10a10,2(,2(ana?ana)2?)?5a5na6．已知等比数列{an}为递增数列，且a5a5，n??n2??n1?1，则数列{an}的通项

n公式an? 2 27．设数列{an}(n?N*)是等差数列，若a2和a2012是方程4x?8x?3?0的两根，则数列

{an}的前2013项的和S2013?___2013__

8．已知?ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列，则tan为___3_____

9．给出问题：已知?ABC满足a?cosA?b?cosB，试判定?ABC的形状．某学生的解答如下：

解：（i）由余弦定理可得，

ACAC?tan?3tantan的值2222b2?c2?a2a2?c2?b2a??b?

2bc2ac??a2?b2?c2??a2?b2??a2?b2??c2?a2?b2

故?ABC是直角三角形.

（ii）设?ABC外接圆半径为R.由正弦定理可得，原式等价于

2RsinAcosA?2RsinBcosB?sin2A?sin2B?A?B 故?ABC是等腰三角形.

由（i）（ii）得，?ABC是等腰直角三角形.

请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果： 等腰或直角三角形

10．已知函数y?sin(?x??3)(??0)的最小正周期为?，若将该函数的图像向左平移

? 3m(m?0)个单位后，所得图像关于原点对称，则m的最小值为

11．在共有2009项的等比数列?an?中，有等式

a1?a3?a5?????a2009?a1005成立；类比上述性

a2?a4?a6?????a2008质，在共有2013项的等差数列?bn?中，相应的有等式

(b1?b3?b5??b2013)?(b2?b4??b2012)?b1007成立

12．对于函数f(x)，在使f(x)?M成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为函数

22，则函数f(x)?sinx?sinx?cscx?cscx的“下确界”为 0 f(x)的“下确界”

二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）

13．设a、b、c是三个实数，则“b?ac”是“a,b,c依次成等比数列”的（ B ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．下列命题中正确的是（ D ） A．函数y?sinx与y?arcsinx互为反函数 B．函数y?sinx与y?arcsinx都是增函数 C．函数y?sinx与y?arcsinx都是周期函数 D．函数y?sinx与y?arcsinx都是奇函数 15．设函数f(x)?|sinx|?cos2x,x???A．?1

B．0

2????,?，则函数f(x)的最小值是（ B ） ?22?19C． D．

2816．数列{an}的通项公式an?ncosn?，其前n项和为Sn，则S2013等于（ C ） 2A．0 B．503 C．1006 D．2012 三、解答题（8+10+10+12+12=52分）

17．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题： （1）计算：

cos2?cos88?cos5?cos85?cos12?cos78???_____;??____;??____

sin47?sin133?sin50?sin130?sin57?sin123? （直接写答案，别忘记把计算器设置成“角度”！）

（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论： ．

（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．） 解：（1）2;2;2（3分）

?cos(?x)cosx?2??2.其中x?k??,k?z（5分） （2）猜想：?3?4sin(x?)sin(?x)44?3?3??Q(x?)?(?x)??,?sin(?x)?sin(x?)， 证明：

4444?2sin(x?)?cosx?sinx4??2又cos(?x)?sinx，所左边=??2sin(x?)sin(x?)44（8分）

18．如图，某观测站C在城A的南偏西20方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40．在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去．该车行驶了20千米后到达D处停下，此时测得C、D两处距离为21千米 （1）求cos?CDB的值；

（2）此车在D处停下时距城A多少千米？ 解：

（1）在?CDB中，由余弦定理得

??CD2?BD2?BC2212?202?3121cos?CDB???? （4分）

2CD?BD2?21?207(2)sin?CDB?1?cos?CDB?243； （5分） 7?? sin?ACD?sin(?CDB?60)?sin?CDB?cos60?cos?CDB?sin60??53（7分）； 14在?ACD中，由正弦定理得：AD?CD?sin?ACD?sin?CAD21?5314?15 (9分) 32 答： 此车在D处停下时距城A处15千米。 (10分)

19．已知数列{an}的前n项和为Sn?（1）求证：数列{an}为等差数列；

（2）试讨论数列{an}的单调性（递增数列或递减数列或常数列） 解：（1）由已知，得a1?S1?a2n（其中a为常数） 2aaa*，an?Sn?Sn?1?(2n?1)?an?(n?N,n?2) 222*又an?an?1?a(n?N,n?2)

所以，数列{an}为公差为a的等差数列． …………………………………………5分

*（2）由an?an?1?a(n?N,n?2)得

当a?0时，数列{an}为递增数列； 当a?0时，数列{an}为常数列；