内容发布更新时间 : 2025/6/15 10:03:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

滚动小专题(二) 方程、不等式的解法

类型1 方程(组)的解法 1．解方程(组)： (1)4x－3＝2(x－1)；

解：去括号，得4x－3＝2x－2. 移项，得4x－2x＝－2＋3. 合并同类项，得2x＝1.

系数化为1，得x＝1

2.

(2)23x＝x＋1

； 解：方程两边同乘x(x＋1)，得2(x＋1)＝3x. 去括号，得2x＋2＝3x. 移项，得2x－3x＝－2. 合并同类项，得－x＝－2. 系数化为1，得x＝2.

检验，当x＝2时，x(x＋1)≠0. ∴x＝2是原分式方程的根．

(3)???2x＋y＝4，①??

x－y＝－1；② 解：①＋②，得2x＋y＋x－y＝4－1.解得x＝1. 把x＝1代入①，得2＋y＝4.解得y＝2.

∴原方程组的解是???x＝1，

??

y＝2.

(4)2x2

－4x－1＝0；

解：x2

－2x－12＝0.

(x－1)2

＝32.

x＝1±

62

. ∴x61＝1＋2，x＝1－622

.

(5)11－x

x－2＋2＝2－x

. 解：方程两边同乘x－2，得1＋2(x－2)＝x－1. 解得x＝2.

检验：当x＝2时，x－2＝0. 所以x＝2不是原方程的解． ∴原方程无解．

1

类型2 不等式(组)的解法 2．解不等式(组)： (1)4x＋5≤2(x＋1)；

解：去括号，得4x＋5≤2x＋2. 移项、合并同类项，得2x≤－3.

解得x≤－3

2.

(2)???3x－1≥x＋1，①? ?

x＋4<4x－2；②解：解不等式①，得x≥1. 解不等式②，得x＞2. ∴不等式组的解集为x＞2.

?2x－7<3（x－1），①(3)???4 ?3

x＋3≤1－2

3x.②解：解不等式①，得x＞－4. 解不等式②，得x≤－1.

∴不等式组的解集是－4＜x≤－1.

3．解不等式：2x－1＞3x－1

2

，并把它的解集在数轴上表示出来．

解：去分母，得4x－2＞3x－1. 解得x＞1.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

4．解不等式组：???2x≥－9－x，

??

5x－1>3（x＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．

解：解不等式2x≥－9－x，得x≥－3.

解不等式5x－1＞3(x＋1)，得x＞2. 则不等式组的解集为x＞2. 将解集表示在数轴上如下：

2

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5．x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与2x≤2－2

x都成立？

?5x＋2>3（x－1），①解：联立不等式组?

??1?2x≤2－3

2x，② 解不等式①，得x>－5

2.

解不等式②，得x≤1. ∴－5

2

故满足条件的整数有－2，－1，0，1.

类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

6．已知关于x的方程x2

＋mx＋m－2＝0.

(1)若此方程的一个根为1，求m的值；

(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

解：(1)把x＝1代入方程x2

＋mx＋m－2＝0，得

1＋m＋m－2＝0.解得m＝1

2

. (2)证明：∵Δ＝m2

－4(m－2)＝(m－2)2

＋4≥4>0.

∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

7．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2

＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；

(2)设方程①的两个实数根分别为xk＝1时，求x22

1，x2，当1＋x2的值．

解：(1)∵x2＋(2k＋1)x＋k2

＝0①有两个不相等的实数根，

∴Δ＝(2k＋1)2－4k2

>0.

∴k>－14

. (2)当k＝1时，原方程为x2

＋3x＋1＝0. ∵x1，x2是该方程的两个实数根，

∴由根与系数的关系可知x1＋x2＝－3，x1x2＝1. ∴x2222

1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝(－3)－2×1＝7.

8．已知关于x的方程(x－3)(x－2)－p2

＝0.

(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程两实数根分别为x，且满足x22

1，x21＋x2＝3x1x2，求实数p的值．

解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2

＝0，

∴x2－5x＋6－p2

＝0.

∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2

.

∵无论p取何值时，总有4p2

≥0，

∴1＋4p2

＞0.

∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

(2)由(1)，得xx2

1＋x2＝5，1x2＝6－p，

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