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初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案

一、圆的综合

1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为 ；

（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ= ；

（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）【解析】

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则

MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题． （3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．

详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH． ∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，

3510；（3）点E的坐标为（1，2）、（，）、（4，2）． 533BH=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． HA 故答案为4．

∴tan∠BAH=

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．

由（1）得：OH=2，BH=4． ∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC． 设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r． ∵BC⊥OC，OA⊥OC，∴BC∥MN∥OA． ∵BM=DM，∴CN=ON，∴MN=∴DH=OD?OH=2r?4．

在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∴BD2=BH2+DH2，∴（2r）2=42+（2r﹣4）2． 解得：r=2，∴DH=0，即点D与点H重合，∴BD⊥0A，BD=AD． ∵BD是⊙M的直径，∴∠BGD=90°，即DG⊥AB，∴BG=AG． ∵GF⊥OA，BD⊥OA，∴GF∥BD，∴△AFG∽△ADB， ∴

1（BC+OD），∴OD=2r﹣2，2AFGFAG111===，∴AF=AD=2，GF=BD=2，∴OF=4， ADBDAB2221AB=22． 2∴OG=OF2?GF2=42?22=25． 同理可得：OB=25，AB=42，∴BG= 设OR=x，则RG=25﹣x．

∵BR⊥OG，∴∠BRO=∠BRG=90°，∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2， ∴（25）2﹣x2=（22）2﹣（25﹣x）2． 解得：x=

858523665，∴BR2=OB2﹣OR2=（25）2﹣（）=，∴BR=．

555565BR3 在Rt△ORB中，sin∠BOR==5=．

OB525 故答案为

3． 5 （3）①当∠BDE=90°时，点D在直线PE上，如图2．

此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t． 则有2t=2． 解得：t=1．则OP=CD=DB=1． ∵DE∥OC，∴△BDE∽△BCO，∴∴点E的坐标为（1，2）． ②当∠BED=90°时，如图3．

∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE∽△OBC，

DEBD1==，∴DE=2，∴EP=2， OCBC2tBEDBBE5，?∴==t． ，∴BE=

BCOB2255 ∵PE∥OC，∴∠OEP=∠BOC．

∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE∽△BCO，

∴

OEtOEOP，?==，∴OE=5t． BC25OB25t=25． 5 ∵OE+BE=OB=25，?5t+ 解得：t=

551055，∴OP=，OE=，∴PE=OE2?OP2=， 333351033∴点E的坐标为（，）． ③当∠DBE=90°时，如图4．

此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．

则有OD=PE，EA=PE2?PA2=2（6﹣t）=62﹣2?t， ∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22． ∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形， ∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°． 在Rt△DBE中，cos∠BED=

BE2=，∴DE=2BE， DE2∴t=（22t﹣22）=2t﹣4．

解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．

综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（，）、（4，2）．

51033

点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数