内容发布更新时间 : 2024/11/14 11:50:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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三角函数与平面向量

一、基础知识 （一）三角函数

1、同角三角函数的基本关系式： sin2??cos2??1， tan?=sin?2、 诱导公式(视?为锐角) sin(???)? cos(???)? tan(???)?. 3、 和差角公式：和差化积sin??sin??2sin(cos?， tan??cot??1. ???2)cos(???2)

cos??cos??2cos(??????)cos()22 积化和差作逆向变换

4、 化一公式：asin??bcos?= (?由点(a,b)决定,tan??b ).

a5、 二倍角公式：2sin2a?

2cos?2?____?____?___ _sinα＝ cos三倍角：?? tan2?? 2tansin3??4sin?sin(??60)sina(??60) cos3??4cos?cos(??60)cos(??60) tan3??___

2tan?2?26、 7、 三角函数的性质 (1)有界性:

万能公式：sin??21?tan?，

cos?? ，

tan??1?tan? 2，

(2)周期性、单调性、奇偶性以及对称性：

正弦函数：2π，单调增区间_________;单调减区间_______,__函数，对称中心_________, 对称轴____ 余弦函数:2π,单调增区间_________;单调减区间_______,__函数,对称中心_________, 对称轴____ 正切函数:π，单调__区间_________，__函数, 对称中心____________ 8、 正弦定理：abc222余弦定理 a?b?c?2bccosA?cosA=___________ ???2R 7、sinAsinBsinC9、面积定理：S?1absinC?1bcsinA?1casinB 222（二）平面向量（箭头，方向性） 1、a与b的数量积(内积)：a·b=|a||b|cosθ 几何意义：a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积． 坐标表示：设a=(x1,2、 向量的平行与垂直：设a=(x1,a?b(a?0)?a·b=0?y1),b=(x2,y2)，则a·b= x1x2?y1y2. y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a∥b(b?0)?x1y2?xy21?0 x1x2?y1y2?0. 3、 线段的定比分公式：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP12的分点,?是实数，且PP1??PP2，

?x1??x2x?则??1????y?y1??y2?1????OP?OP1??OP2 ?OP?tOP1?(1?t)OP2（令t?1??1）———共线条件 1??4、 三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x3,y1?y2?y3). 335、 三角形五“心”向量形式的充要条件：设O为?ABC所在平面上一点，角别为a,b,c，则 （1）O为?ABC的外心（中垂线）?22A,B,C所对边长分2OA?OB?OC （2）O为?ABC的重心（中线）?OA?OB?OC?0 （3）O为?ABC的垂心（高）?OA?OB?OB?OC?OC?OA （4）O为?ABC的内心（角平分线）?aOA?bOB?cOC?0 优秀学习资料 欢迎下载

二、例题讲解 （一）三角函数 1、三角恒等变换 （1）公式运用

例1 已知sinθcosθ＝1，且π???π，那么cosθ－sinθ的值为_______

842例2 若tanθ＝－2，则cos2??sin2?＝_______

1?cos2???例3 化简(1?sin??cos?)(cos2?sin2)(0＜α＜π)

2?2cos?

（2）善于配角

例4 已知tan(α＋β)＝2，tan(α－π)?1，那么tan(β＋π)＝（ ）

6564例5 已知?、?∈(0，π)且tan(?－?)＝

1，tan?2＝－

17，求2α－?的值．

2、三角函数的性质及应用 例6 求函数y=2sin(

例9 设f(x)?a?b,其中向量a?(2cosx,1),b?(cosx,3sin2x),x?R. (I)若

-2x)的单调增区间。

f(x)?1?3且x?[??,?],求

33x; (II)若函数y?2sin2x的图象按向量c?(m,n)(m??)平移后得到函数y?f(x)的图象,求实数m,n的值.

2

例10 (1)当x??,函数f(x)?cos2x?sinx的最大值是 ,最小值是 .(2)函数y?cos3x?sin2x?cosx的最大值是

4 (3)当函数y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x取得最小值时,x的集合是 . (4)函数y?sinx(0?x??)的值域是 .

cosx?1

例11 方程sinx+

例12已知函数f(x)=3sin(?x-?)(?>0)和g(x)=2cos(2x+?)+1的图象的对称轴完全相同。若

6x?[0,cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。

?2]，则x(f)值域为 。

例13 （2010江西理数）已知函数

f?x???1?cotx?sin2x?msin??x????????sin?x??4?4? ???3??3，?f?a???f?x?5，求m的值。 (1) 当m=0时，求在区间?84?上的取值范围； (2) 当tana?2时，

3、三角形问题

例14 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2?b2?3bc，sinC?23sinB，则A=_____ 例15 （2010四川理数）设点M是线段BC中点，点A在直线BC外，BC?16,?AB?AC???AB?AC??则?AM??____

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例16 已知?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a?4,b?c?5,tanA?tanB=?3(1?tanAtanB),求角A.

例17在△ABC中,角A、B、C对边分别为a,b,c，若cos2C??1 (I)求sinC；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c．

4

例18 （2010辽宁理数）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C对边，且2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC. （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.

（二）平面向量

例1 设向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?), 求证:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.

uuruur例2 （2010全国卷2理数）点D在AB上，CD平方?ACB．若CB?a，CA?b，aVABC中，

uuur?1，

b?2，则CD?——— （A）1a?2b （B）2a?1b （C）3a?4b （D）4a?3b

33335555例3 已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则 （ ） A．

a⊥e B．a⊥(a－e) C． e⊥(a－e) D． (a＋e)⊥(a－e)

3131例4 如右图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴暗区域内 （ ）①OA?2OB ②3OA?1OB ③1OA?1OB ④OA?OB ⑤OA?OB

45454323A．①② B．①②④ C．①②③④ D．③⑤

例5 （全国卷）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆两条切线，A、B为两切点，则PA?PB的最小值为___

例6 （2010浙江文数）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量OG?OE?OF的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 。 三、练习 1. 若cos2α＝－

45，且α∈[

π，π]，则sinα＝_______ 22．已知?是第二象限角,其终边上一点P(x,5),且cos??2x,则sin?=_______

43．（2010浙江理数）（4）设0＜x＜?2，则“xsin2x＜1”的________条件 1”是“xsinx＜4．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝5.若sinα＋sinβ＝

45，则tan

?2＝_______

3(cosβ－cosα)，α、β∈(0，π)，则α－β的值为_______ 3