内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:47:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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三角函数与平面向量
一、基础知识 (一)三角函数
1、同角三角函数的基本关系式: sin2??cos2??1, tan?=sin?2、 诱导公式(视?为锐角) sin(???)? cos(???)? tan(???)?. 3、 和差角公式:和差化积sin??sin??2sin(cos?, tan??cot??1. ???2)cos(???2)
cos??cos??2cos(??????)cos()22 积化和差作逆向变换
4、 化一公式:asin??bcos?= (?由点(a,b)决定,tan??b ).
a5、 二倍角公式:2sin2a?
2cos?2?____?____?___ _sinα= cos三倍角:?? tan2?? 2tansin3??4sin?sin(??60)sina(??60) cos3??4cos?cos(??60)cos(??60) tan3??___
2tan?2?26、 7、 三角函数的性质 (1)有界性:
万能公式:sin??21?tan?,
cos?? ,
tan??1?tan? 2,
(2)周期性、单调性、奇偶性以及对称性:
正弦函数:2π,单调增区间_________;单调减区间_______,__函数,对称中心_________, 对称轴____ 余弦函数:2π,单调增区间_________;单调减区间_______,__函数,对称中心_________, 对称轴____ 正切函数:π,单调__区间_________,__函数, 对称中心____________ 8、 正弦定理:abc222余弦定理 a?b?c?2bccosA?cosA=___________ ???2R 7、sinAsinBsinC9、面积定理:S?1absinC?1bcsinA?1casinB 222(二)平面向量(箭头,方向性) 1、a与b的数量积(内积):a·b=|a||b|cosθ 几何意义:a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积. 坐标表示:设a=(x1,2、 向量的平行与垂直:设a=(x1,a?b(a?0)?a·b=0?y1),b=(x2,y2),则a·b= x1x2?y1y2. y1),b=(x2,y2),且b?0,则a∥b(b?0)?x1y2?xy21?0 x1x2?y1y2?0. 3、 线段的定比分公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段PP12的分点,?是实数,且PP1??PP2,
?x1??x2x?则??1????y?y1??y2?1????OP?OP1??OP2 ?OP?tOP1?(1?t)OP2(令t?1??1)———共线条件 1??4、 三角形的重心坐标公式:△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x3,y1?y2?y3). 335、 三角形五“心”向量形式的充要条件:设O为?ABC所在平面上一点,角别为a,b,c,则 (1)O为?ABC的外心(中垂线)?22A,B,C所对边长分2OA?OB?OC (2)O为?ABC的重心(中线)?OA?OB?OC?0 (3)O为?ABC的垂心(高)?OA?OB?OB?OC?OC?OA (4)O为?ABC的内心(角平分线)?aOA?bOB?cOC?0 优秀学习资料 欢迎下载
二、例题讲解 (一)三角函数 1、三角恒等变换 (1)公式运用
例1 已知sinθcosθ=1,且π???π,那么cosθ-sinθ的值为_______
842例2 若tanθ=-2,则cos2??sin2?=_______
1?cos2???例3 化简(1?sin??cos?)(cos2?sin2)(0<α<π)
2?2cos?
(2)善于配角
例4 已知tan(α+β)=2,tan(α-π)?1,那么tan(β+π)=( )
6564例5 已知?、?∈(0,π)且tan(?-?)=
1,tan?2=-
17,求2α-?的值.
2、三角函数的性质及应用 例6 求函数y=2sin(
例9 设f(x)?a?b,其中向量a?(2cosx,1),b?(cosx,3sin2x),x?R. (I)若
-2x)的单调增区间。
f(x)?1?3且x?[??,?],求
33x; (II)若函数y?2sin2x的图象按向量c?(m,n)(m??)平移后得到函数y?f(x)的图象,求实数m,n的值.
2
例10 (1)当x??,函数f(x)?cos2x?sinx的最大值是 ,最小值是 .(2)函数y?cos3x?sin2x?cosx的最大值是
4 (3)当函数y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x取得最小值时,x的集合是 . (4)函数y?sinx(0?x??)的值域是 .
cosx?1
例11 方程sinx+
例12已知函数f(x)=3sin(?x-?)(?>0)和g(x)=2cos(2x+?)+1的图象的对称轴完全相同。若
6x?[0,cosx+a=0在(0,2π)内有相异两根α、β,求实数a的取值范围,以及α+β的值。
?2],则x(f)值域为 。
例13 (2010江西理数)已知函数
f?x???1?cotx?sin2x?msin??x????????sin?x??4?4? ???3??3,?f?a???f?x?5,求m的值。 (1) 当m=0时,求在区间?84?上的取值范围; (2) 当tana?2时,
3、三角形问题
例14 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2?b2?3bc,sinC?23sinB,则A=_____ 例15 (2010四川理数)设点M是线段BC中点,点A在直线BC外,BC?16,?AB?AC???AB?AC??则?AM??____
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例16 已知?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a?4,b?c?5,tanA?tanB=?3(1?tanAtanB),求角A.
例17在△ABC中,角A、B、C对边分别为a,b,c,若cos2C??1 (I)求sinC;(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c.
4
例18 (2010辽宁理数)在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C对边,且2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC. (Ⅰ)求A的大小; (Ⅱ)求sinB?sinC的最大值.
(二)平面向量
例1 设向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?), 求证:sin(???)?sin?cos??cos?sin?.
uuruur例2 (2010全国卷2理数)点D在AB上,CD平方?ACB.若CB?a,CA?b,aVABC中,
uuur?1,
b?2,则CD?——— (A)1a?2b (B)2a?1b (C)3a?4b (D)4a?3b
33335555例3 已知向量a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则 ( ) A.
a⊥e B.a⊥(a-e) C. e⊥(a-e) D. (a+e)⊥(a-e)
3131例4 如右图所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中哪些向量的终点落在阴暗区域内 ( )①OA?2OB ②3OA?1OB ③1OA?1OB ④OA?OB ⑤OA?OB
45454323A.①② B.①②④ C.①②③④ D.③⑤
例5 (全国卷)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆两条切线,A、B为两切点,则PA?PB的最小值为___
例6 (2010浙江文数)在平行四边形ABCD中,O是AC与BD的交点,P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点,在APMC中任取一点记为E,在B、Q、N、D中任取一点记为F,设G为满足向量OG?OE?OF的点,则在上述的点G组成的集合中的点,落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为 。 三、练习 1. 若cos2α=-
45,且α∈[
π,π],则sinα=_______ 22.已知?是第二象限角,其终边上一点P(x,5),且cos??2x,则sin?=_______
43.(2010浙江理数)(4)设0<x<?2,则“xsin2x<1”的________条件 1”是“xsinx<4.已知180°<α<270°,且sin(270°+α)=5.若sinα+sinβ=
45,则tan
?2=_______
3(cosβ-cosα),α、β∈(0,π),则α-β的值为_______ 3