内容发布更新时间 : 2026/9/16 0:02:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
一、数学规划模型
1 问题的提出
某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制。
（1）请为该企业制定一个生产计划，使每天获利最大。
（2）若用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资？若投资，每天最多购买多少吨铝原料？
（3）如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时几元？
（4）如果每吨A型材的获利增加到3000元，应否改变生产计划？
2 问题分析与假设
2.1问题分析
我们为该企业制定的生产计划要使得每天获利最大，也就是也就是要确定分别用多少吨铝原料分配给甲、乙设备使得总利润最大，因此分配给甲、乙设备铝材料的吨数就是我们这次线性规划的决策变量，由此就确定了获利的目标函数。同时目标函数又要满足一些约束条件，如每天最多能得到250吨铝原料、每天工人的总工作时间不能超过为480小时、甲种设备每天至多能加工100吨A，由此可以建立求解利润最大化的数学模型。
对于问题2,3上，仅仅改变相关参数，就可以的到最优解所得到最大值的变化，也就是所谓的影子价格，通过与影子价格比较，制定相应的策略。对于问题4可以从两个角度进行分析，一种直接改变参数，观察最优解是否变化，另外一种是对其进行灵敏度分析，观察其系数是否落在取值范围内。
2.2问题假设
1．假设加工A,B型材的铝原料数是满足铝原料供应的非负实数； 2. 假设是在完全市场经济的情形下，进行问题分析的
3．假设A，B 型材每吨的获利是与产量，所用时间是相互独立的，即两两之间
是没有关系的。
这三条假设是进行线性规划，影子价格分析的基础
3 模型建立
在模型建立之前，我们先给出如下记号
x1：分配给甲设备x1个5吨铝材料 x2：分配给乙设备x2个5吨铝材料
W：每天的生产获利
现在我们建立数学模型各给甲、乙分配5吨原材料的情况下，原材料的生产能力、消耗时间、获利之间的关系如下表： 甲设备消耗5吨铝材料/x1 甲设备消耗5吨铝材料/x2 所用时间 产量 获利 12 3吨A产品 3?2400=7200 8 4吨B产品 4?1600=6400 由于5x1吨产品给甲设备生产，能够得到3x1吨A产品，能够获利7200x1元，并且5x2吨产品给乙设备生产，能够得到4x2吨B产品，能够获利6400x2元，则建立目标函数maxW?7200x1?6400x2
并且由于1）加工厂每天最多能得到250吨铝原料，2）每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且3）甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制，同时应满足非负约束，则其应满足约束条件：
5x1?5x2?25012x1?8x2?4803x1?100x1?0,x2?0
4 模型求解
4.1问题1求解
根据建立的模型，我们可以知道maxW?7200x1?6400x2，我们利用Matlab来进行求解，将问题极小化以便处理，即M??W，则当x1,x2时maxW的最优解时，也就是minM的最有解，进而将问题转化为：
minM??7200x1?6400x2
5x1?5x2?25012x1?8x2?4803x1?100x1?0,x2?0
解得x1?20,x2?30
minM? 3.36?105
那么maxW?3.36?105
此时最优解是x1?20,x2?30，即分配给甲100吨，分配给乙150吨，此时获得最大利润3.36?105万元。
4.2问题的进一步求解
4．2.1若用1000元可买到1吨铝原料，即加工厂每天最多能得到251吨铝原料，则可以原问题转化为
minM??7200x1?6400x2
5x1?5x2?25112x1?8x2?4803x1?100x1?0,x2?0此时最优解x1?19,x2?36
并且M=-3.3696?105，则maxW=3.369610?5
，利润相比增加了960? 1000。那么
此时说明不应该做这项投资。其实这960元就是铝材料的影子价格，在完全市场经济的条件下，由于该资源的价格高于影子价格，则此时企业应当卖掉该资源，而不是扩大生产。
4.2.2同样对于问题3，当工时增加1小时，企业能够获得多获得大的利益，同样这也是工人工资的影子价格，和上述方法类似计算得到工人的影子价格是200元，即付给工人的工资最多不能超过200元，否则还不如不要这个工人所带来的收益更大。
4.2.3对于问题4，当A产品的获利变为每吨为3000元时，改变相关参数，与上述3个问题类似，我么可以得到最优解仍是x1?20,x2?30，并且我们求得
maxW=3.72?105元。所以不需要改变生产计划。