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历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析（共九大专题）

目录：

专题一：不等式 01～11页 专题二：复数、平面向量 12～20页 专题三：三角函数 21～27页 专题四：创新与综合题 28～33页 专题五：概率 34～43页 专题六：数列与极限 44～55页 专题七：解析几何 56～74页 专题八：平面几何 75～83页 专题九：排列、组合与二项式定理 84～88页

历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析

专题一：不等式

一、选择题。

1．(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) C.(-,

)

B.[-1,1] D.不能确定

【答案】B

22

【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x≤1即可.由x≤1,解得x∈[-1,1].

2．(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( ) A.-

B.-

C.-

D.-

【答案】A 【解析】

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3．(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=

称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点

(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1

B.k≤2

C.k=2

D.k=1

【答案】C

【解析】可行域如图中阴影部分所示,

目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值

的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0). 4．(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+

在正实半轴上的最小值是( )

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A. B. C. D.

【答案】C

【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值. 因为y=x+

=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+

∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.

5．(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( ) A.a<12

B.a<7

C.a<5

D.a<2

【答案】D

【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.

6．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(

,-

),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )

B.

A.1 【答案】B

C.

D.2

【解析】

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