内容发布更新时间 : 2024/12/25 14:32:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

7-7-4 容斥原理之数论问题

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

教学目标

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“

”

读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆B，即阴影面积．

1．先包含——A?B 重叠部分A

B计算了2次，多加了1次；

A?B?AB包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把ABA、B的一切元素都“包含”进1来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类

的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，

C1．先包含：A?B?C 重叠部分AB、BC、C多加了1次． A重叠了2次，

2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC

ABC3在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

A?B?C?例题精讲

AB?BC?AC

A?B?C?AB?BC?AC?ABC

【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

AB

【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍

数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．

由100?3?331可知，1~100中3的倍数有33个；由100?5?20可知，1~100中5的倍数有20个；由100?（3?5）?610可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．

由包含排除法，3或5的倍数有：33?20?6?47(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有

100?47?53(个)．

【答案】53

【巩固】 在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 100?3?331，100?5?20，100?（3?5）?610．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的

数有33?20?6?47(个)．

【答案】47

【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整

除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．

前100个自然数中能被2整除的数有：100?2?50(个)．由100?3?331知，前100个自然数中能被

3整除的数有：33个．由100?（2?3）?16有16个．

4知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数

所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数．因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50?33?16?67(个)．

【答案】67

【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个? 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 1～1000之间，5的倍数有?1000?=200个，7的倍数有?1000?=142个，因为既是5的倍数，又是

???5???7??7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有?1000?=28个．

??35??所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．

【答案】686

【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数． 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 记 A：1～100中3的倍数，100?3?33B：1～100中7的倍数，100?7?141，有33个； 2，有14个；

16，有4个．

A个.

B：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，100?21?4依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有33?14?4?43个，则能被3或7整除的数的个数为43

【答案】43

【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍

数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.

【答案】48个，和24

【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和. 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的

数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.

【答案】240个，120个

【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个． 【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】西城实验

?2008??2008??133【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有?个，3和7的倍数有??21??95个，5

?15???