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2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合{x|x2?4x?3?0}，B?{x|2?x?4}，则AIB?（ ）
（A）?1,3? （B）?1,4? （C）?2,3? （D）?2,4? 【答案】C
【解析】A?{x|x2?4x?3?0}?{x|1?x?3}，AIB?(2,3)，故选C．
z?i，其中i是虚数单位，则z?（ ） 1?i（A）1?i （B）1?i （C）?1?i （D）?1?i 【答案】A
（2）【2015年山东，理2】若复数z满足
【解析】z?(1?i)i??i2?i?1?i，z?1?i，故选A．
（3）【2015年山东，理3】要得到函数y?sin(4x?)的图象，只需将函数y?sin4x的图像（ ）
3（A）向左平移【答案】B
【解析】y?sin4(x?个单位，故选B．
1212uuuruuuro（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a，?ABC?60，则BD?CD?（ ）
3333 （A）?a2 （B）?a2 （C）a2 （D）a2
2442【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为a，?ABC?60o可知?BAD?180o?60o?120o，
??12个单位（B）向右平移
?12个单位（C）向左平移
??个单位（D）向右平移个单位 33?)，只需将函数y?sin4x的图像向右平移
?uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur23BD?CD?(AD?AB)?(?AB)??AB?AD?AB??a?acos120o?a2?a2，故选D．
2（5）【2015年山东，理5】不等式|x?1|?|x?5|?2的解集是（ ）
（A）(??,4) （B）(??,1) （C）(1,4) （D）(1,5) 【答案】A
【解析】当x?1时，1?x?(5?x)??4?2成立；当1?x?5时，x?1?(5?x)?2x?6?2，解得x?4，则
1?x?4；当x?5时，x?1?(x?5)?4?2不成立．综上x?4，故选A． ?x?y?0?（6）【2015年山东，理6】已知x,y满足约束条件?x?y?2若z?ax?y的最大值为4，则a?（ ）
?y?0?（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B
【解析】由z?ax?y得y??ax?z，借助图形可知：当?a?1，即a??1时在x?y?0时有最大值0，不符合题
意；当0??a?1，即?1?a?0时在x?y?1时有最大值a?1?4,a?3，不满足?1?a?0；当?1??a?0，即0?a?1时在x?y?1时有最大值a?1?4,a?3，不满足0?a?1；当?a??1，即a?1时在x?2,y?0时有最大值2a?4,a?2，满足a?1，故选B． （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD中，?ABC?，AD//BC，BC?2AD?2AB?2．将梯形ABCD
2绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
?..
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（A）【答案】C
2?4?5? （B） （C） （D）2? 33315?【解析】V???12?2???12?1?，故选C．
33（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，
其长度误差落在区间?3,6?内的概率为（ ）（附：若随机变量?服从正态分布N(?,?2)，则
P(?????????)?68.26%，P(??2??????2?)?95.44%）
（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% 【答案】D
1【解析】P(3???6)?(95.44%?68.26%)?13.59%，故选D．
2（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(?2,?3)射出，经y轴反射与圆(x?3)2?(y?2)2?1相切，则反射光线
所在的直线的斜率为（ ）
53325443（A）?或? （B）?或? （C）?或? （D）?或?
23453435【答案】D
【解析】(?2,?3)关于y轴对称点的坐标为(2,?3)，设反射光线所在直线为y?3?k(x?2),即kx?y?2k?3?0，
43|?3k?2?2k?3|?1,|5k?5|?k2?1，解得k??或?，故选D． 则d?34k2?1?3x?1,x?1,（10）【2015年山东，理10】设函数f(x)??x则满足f(f(a))?2f(a)的取值范围是（ ）
x?1.?2,22 （A）[,1] （B）[0,1] （C）[,??) （D）[1,??)
33【答案】C
?a?1?a?12【解析】由f(f(a))?2f(a)可知f(a)?1，则?a或?，解得a?，故选C．
3?2?1?3a?1?1第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：
C10?40;1C30?C3?41;012n?11照此规律，当n?N*时，C2C50?C5?C52?42;n?1?C2n?1?C2n?1?L?C2n?1? ． 013C7?C7?C72?C7?43;LL【答案】4n?1
1012n?1012n?1【解析】C2 ?C?C?L?C?(2C2n?12n?12n?12n?1n?1?2C2n?1?2C2n?1?L?2C2n?1)2102n?112n?222n?3n?1n?[(C2n?1?C2n?1)?(C2n?1?C2n?1)?(C2n?1?C2n?1)?L?(C2n?1?C2n?1)]2 1012n?112n?1n2n?1n?1?(C2n?1?C2n?1?C2n?1?L?C2n?1?C2n?1?L?C2n?1)??2?422（12）【2015年山东，理12】若“?x?[0,],tanx?m”是真命题，则实数m的最小值为 ．
4【答案】1
【解析】“?x?[0,],tanx?m”是真命题，则m?tan?1，于是实数m的最小值为1．
44（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为 ．
???..
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【答案】
11 6111111??．
00236（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)?ax?b(a?0,a?1)的定义域和值域都是[?1,0]，则a?b? ．
3【答案】?
2?a?1?b??1?a?1?b?0113【解析】当a?1时?0，无解；当0?a?1时?0，解得b??2,a?，则a?b??2??．
222?a?b?0?a?b??1【解析】T?1??xdx??x2dx?1?x2y2（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线
ab2C2:x?2py(p?0)交于点O,A,B，若?OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ． 3【答案】
2x2y22pb2pb22pb2pb2b【解析】C1:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线为y??x，则A(,2),B(?,2)
abaaaaapC2:x2?2py(p?0)的焦点F(0,)，则kAF2 三、解答题：本大题共6题，共75分．
2pb2p?2c3ab25c2a2?b29a2， ??，即2?，2?e??．?2pbba4aa24a2a（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设f(x)?sinxcosx?cos2(x?)．
4（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
A（Ⅱ）在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()?0,a?1，求?ABC面积．
211?1111解：（Ⅰ）由f(x)?sin2x?[1?cos(2x?)]?sin2x??sin2x?sin2x?，
2222222由2k????2?2x?2k???2,k?Z得k???4?x?k???4,k?Z，
则f(x)的递增区间为[k??由2k???,k??],k?Z；
44?3??3?,k?Z得k???x?k??,k?Z，
2244?3?则f(x)的递增区间为[k??,k??],k?Z．
44A11? （Ⅱ）在锐角?ABC中，f()?sinA??0,sinA?，A?，而a?1，
2226??2x?2k??由余弦定理可得1?b2?c2?2bccos即bc?1?6?2bc?3bc?(2?3)bc，当且仅当b?c时等号成立，
11?12?32?3故?ABC面积的最大值为． ?2?3，S?ABC?bcsinA?bcsin?bc?2264442?3（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF?ABC中，
AB?2DE,G,H分别为AC,BC的中点． （Ⅰ）求证：BD//平面FGH；
（Ⅱ）若CF?平面ABC，AB?BC,CF?DE,?BAC?45o，求平面FGH与平面
ACFD所成角（锐角）的大小．
解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T，
在三棱台DEF?ABC中，AB?2DE，则AC?2DF，
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