江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试卷 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/6/9 9:57:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

设,,,

求出,同理,由,化简求出DE,则可

得结论;(2) 令,,则利用基本不等式求解即可.

18.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线与椭圆C相交于A,B两点,且;

①求证:△AOB的面积为定值;

②椭圆C上是否存在一点P,使得四边形OAPB为平行四边形?若存在,求出点P的横坐标的取值范围,若不存在,说明理由.

【答案】(1)由题意:,所以,则,

椭圆C的方程为.

(2)①由,消去,化简得:,

设,则,,

故,

因为,所以,

所以,,

所以为定值.

②若存在椭圆上的点,使得OAPB为平行四边形,则,

设,则,又因为,

即,得,

又因为,矛盾;

故椭圆上不存在点P,使得OAPB为平行四边形.

【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质,直线的方程与斜率,弦长公式与点到直线的距离公

式,考查了方程思想与逻辑推理能力.(1) 由题意:,求解易得结论;(2) ①联立直线与

椭圆方程,由韦达定理,结合条件可,由弦长公式与点到直线的

距离公式,即可得出S的表达式,化简求解即可; ②若存在椭圆上的点,使得OAPB为平行

四边形,则,设,则,结合椭圆方程,化简可得

结论.

19.设定义在R上的函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围;

(3)定义:如果实数满足,那么称比更接近,对于(2)中的及,

问和哪个更接近?并说明理由.

【答案】(1)由题设知,,

①当时,恒成立,上单调递增;

②当时,

,得,

,当单调递增;

时,单调递减,当

综上:当单调递增; (2)由(1)知当

时,上单调递增;当时,在单调递减,在

时,在单调递增,所以恒成立,舍;

当时,在单调递减,在

单调递增,所以满足,

综上:实数的取值范围

(3)令,,

,单调递减,

故当时,;当时,;

,,在单调递增,

故,则在单调递增,;

①当时,令,