内容发布更新时间 : 2025/1/10 22:04:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

23.多边形的边与角

解读课标

大街上的行人道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面.

一般地，由n条不在同一直线上的首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称多边形.

边、角、对角线是多边形中最基本的概念.

多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略.

多边形的内角和性质反映出一定的规律性：?n?2??180?随n的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360°的一个常数.把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧.

问题解决

例1 如图，?A??B??C??D??E??F?.

（河南省竞赛题）

例1图例4图

试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶角三角形的性质，把分散的角加以集中.

例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（） A.4 B.5 C.6 D.7

试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题.

例3 凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值.

试一试设除去的角为x?，可建立关于x，n的不定方程；又0??x?180?，又可得到关于n的不等式，故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件.

例4 如图四边形ABCD中，已知AB∥CD,AD∥BC,AE?BC于E,AF?CD于F，求证：

?BAD??EAF?180?.

试一试从四边形AECF内角和入手.

例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求?A??B??C??D??E的度数. （2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求?A??B??C??D??E??F??G度数.

（3）如图③，用“一笔画”方法画成的2n?1角形（n?2），且B1B2?B2nB2n?1是凸2n?1边形，求?A1??A2??A3????A2n??A2n?1度数.

等角六边形

法国著名数学家傅里叶曾说：“对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的源泉.”蜂房结构、飞舞雪花肥皂泡的聚接等，六边形备受自然界的青睐.

例6定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形. （1）研究性质

①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论.

②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF相等吗？证明你的结论.

③如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论.

（2）探索判定

三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？

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