内容发布更新时间 : 2024/12/29 14:00:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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坐标个数只能是6，每个方向3个。
（2）多项式中常数项和坐标的一次项必须完备，目的是确保所选位移模式能反映单元的刚体位移和常应变特性。
（3）多项式选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式。 对于平面问题： 零次完全多项式： x0，y0 一次完全多项式： x, y 二次完全多项式： x2, xy, y2 三次完全多项式： x3, x2y, xy2, y3
若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标对称性。且一个方向的次数不应超过完全多项式的次数。如二次：xy；三次：x2y，xy2。
2. 建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤 （1）假设位移模式；
（2）将各结点坐标代入，得到关于广义坐标的线性方程组，从而求出广义坐标；
（3）将广义坐标?回代入一般位移模式中得到由单元结点位移列阵所表示的位移模式；
（4）由位移模式u?Na?，由矩阵形式的几何方程，求导数可得到应变矩阵B，即??ba?
（5）由矩阵形式的物理方程，则弹性矩阵乘以应变向量，得??DBa?。 2.3.2 弹性力学问题有限元分析的执行步骤
在根据问题的类型和性质选定了单元的形式，并构造了它的插值函数以后，
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可按以下步骤对问题进行有限元分析。
（1）对结构进行离散。按问题的几何特点和精度要求等因素划分单元并形成网格，既将原来的连续体离散为在结点处互相联结的有限单元组合体。
（2）形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵。单元刚度矩阵的一般形式为
Ke??VeBTDBdV 单元等效结点载荷的一般形式为
Pe?Pef?PeS
PeTS??S?eNTdS
Pef??VNTfdV
e（3）集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵
K??Ke???BTDBdV eeVeP?Pf?PS?PF??(Pef?PeS)?PFe其中PF是直接作用于结点上的集中力。
（4）引入强制边界条件（给定位移）。 （5）求解有限元方程，得到结点位移?。
K??P （6）计算单元应变和应力。
??B?e
??D??DB?e
（7）进行必要的后处理。 2.4 有限元解的性质和收敛准则
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2.3.1）
2.3.2）
2.3.3）
（ （
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2.4.1 有限元解得收敛准则
有限元法作为求解微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同之处在于有限元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，即如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n??时，则里兹法的近似解将趋于微分方程的精确解。现在要研究有限元解的收敛性。
在有限元法中，场函数的总体泛函是单元泛函集成的，如果采用完全多项式（无穷多项）作为单元的插值函数，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和精确解一致。但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是精确解的一个近似解答。有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元趋于精确解。
下面仍以含有一个待求标量场函数为例，微分方程是
A(?)?L(?)?b?0 （2.4.1）
相应的泛函是
?1?????C(?)C(?)??b?d??b.t （2.4.2）
?2??~假定泛函中包含?和它的直至m阶的各阶导数是非零的，则近似函数?至少
必须是m次多项式。若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p?m。假设
?仅是x的函数，则?及其各阶导数在一个单元内的表达式为：
~???0??1x??2x2??3x3????pxp
~????1?2?2x?3?3x2???p?pxp?1 ?x 精心整理 学习帮手
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~?2??2?2?6?3x???p(p?1)?pxp?2 （2.4.3） 2?x ……
~?m?p!?m!??(m?1)!?x????pxp?m mm?1m(p?m)!?x~由上式可见，因为?是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中~都包含有常数项。当单元尺寸趋于零时，在每一单元内?及其m阶导数将趋于精
确解，即趋于常数。因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确解。如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋于它的精确解。即解是收敛的。
收敛准则：
准则1完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。
准则2协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm?1连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的连续导数。
当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是协调的。
当单元为完备的协调单元，则有限元解收敛，即细分单元其解趋于精确解。 2.4.2 收敛准则的物理意义
在平面问题中，泛函?p中出现的是位移u和v的一次导数，即应变?x,?y,?xy，因此m?1。
收敛准则1要求插值函数或位移函数至少是x,y的一次完全多项式。我们知
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道位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。实际分析中，各单元的变形往往包含着刚体位移，同时单元尺寸趋于无穷小时各单元的应变也趋于常应变。所以完备性要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体位移（零应变）或常应变的位移模式时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可能收敛于精确解。
应该指出，在Bazeley等人开始提出上述收敛准则时，是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满足完备性收敛准则，如果将此收敛准则用于有限尺寸时，将使解的精度得到改进。
对平面问题，协调性要求是C0连续性，即要求位移函数u,v的零阶导数，也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的。如果在交界面上位移不连续表现为当结构变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将产生无限大的应变，这时应该将发生在交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去。但在建立泛函?p时，没有考虑到这种情况，只考虑了产生于各个单元内部的应变能。因此，当边界上位移不连续时，则有限元解就不可能收敛于精确解。
可以看出，最简单的3结点三角形单元插值函数既满足完备性要求，也满足协调性要求，因此单元的解是收敛的。
应当指出，对于二、三维弹性力学问题，泛函中出现导数是一阶。对于近似的位移函数的连续性要求仅是C0连续性，这种只要求函数自身在单元边界连续的要求很容易得到满足。
而当泛函中出现导数高于一阶（如板壳，泛函中出现的导数是2阶）时，则要求试探函数在单元交界面上具有连续的一阶或高于一阶的导数，即具有C1或
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