内容发布更新时间 : 2024/5/12 6:14:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?3/83?; 1/24(2) P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0}

?1?P{X?0,Y?0}?1?x?0y?0??f(x,y)d??1?13?. 4421.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

【解】区域D的面积为 S0?e2?11dx?lnxxe21?2.（X,Y）的联合密度函数为

1?12?,1?x?e,0?y?,f(x,y)??2x

??0,其他.（X，Y）关于X的边缘密度函数为

1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以fX(2)?1. 422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和

Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. X x1 x2 P{Y=yj}=pj

【解】因P{Y?yj}?Pj?Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 2P{X=xi}=pi 1 ?P{X?x,Y?y},

iji?1故P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1}, 从而P{X?x1,Y?y1}?111??. 682413

而X与Y独立，故P{X?xi}P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi},

11?P{X?x1,Y?y1}?. 624111即：P{X?x1}?/?.

2464从而P{X?x1}?又P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?x1,Y?y3},

111???P{X?x1,Y?y3}, 42481从而P{X?x1,Y?y3}?.

1213同理P{Y?y2}?, P{X?x2,Y?y2}?

28即又

111P{Y?y}?1,故P{Y?y}?1???. ?j3623j?13同理P{X?x2}?从而

3. 4111P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}???.

3124故 X Y y1 y2 y3 P{X?xi}?Pi x1 x2 P{Y?yj}?pj 1 241 81 61 83 81 21 121 41 31 43 41 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p（0

mmn?m【解】(1) P{Y?m|X?n}?Cnp(1?p),0?m?n,n?0,1,2,.

(2) P{X?n,Y?m}?P{X?n}P{Y?m|X?n}

14

?Cp(1?p)mnmn?me??n?,n?m?n,n?0,1,2,n!.

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~??2??1?，而Y的概率密度为f(y)，??0.30.7?求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X?Y?u|X?2}

?0.3P{Y?u?1|X?1}?0.7P{Y?u?2|X?2}

由于X和Y独立，可见

G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2}

?0.3F(u?1)?0.7F(u?2).

由此，得U的概率密度为

g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2)

?0.3f(u?1)?0.7f(u?2).

25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

?1?1?, 0?x?3,?, 0?y?3, f(y)??3 f(x)??3???0, x?0,x?3;?0, y?0,y?3.因为X，Y相互独立，所以

?1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9??0, x?0,y?0,x?3,y?3. 推得 P{max{X,Y}?1}?26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y X ??1 0 1 ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 1. 9其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：

15

（1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X)??0.2，可得

?a?c??0.1.

再由 P{Y?0X?0}?P{X?0,Y?0}a?b?0.1??0.5,

P{X?0}a?b?0.5得 a?b?0.3.

解以上关于a，b，c的三个方程得

a?0.2,b?0.1,c?0.1.

(2) Z的可能取值为?2，?1，0，1，2，

P{Z??2}?P{X??1,Y??1}?0.2，

P{Z??1}?P{X??1,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.1，

P{Z?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y??1}?0.3，

P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.3，

P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?0.1，

即Z的概率分布为 Z P ?2 ??1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P{X?Z}?P{Y?0}?0.1?b?0.2?0.1?0.1?0.2?0.4.

27. 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.

解：因为X,Y独立同分布，所以FX（z）=FY(z),则FZ（z）=P{Z≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{x≤z}·P{Y≤z}=［F（z）］2.

28.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为

1P{X?i}?,3Y的概率密度为fY(y)??i??1,0,1,

?1,?0,0?y?1,其他.记Z=X+Y.

16