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安徽省毛坦厂中学2020届高三数学12月月考试题 理（应届）
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)
1．
i1?i?1?ii= （ ） A．?12?12i B．1131132?2i C．?2?2i D．?2?2i
2．已知定义在上的函数
满足
,且
为偶函数，若
在
内单
调递减，则下面结论正确的是（ ） A． B． C．
D．
3、已知两个等差数列?aann?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且
（n?1)Sn?(7n?23)Tn，则使得b为n整数的正整数n的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．某几何体的三视图如图所示（单位：
），则这个几何体的体积为（ ）
第4题图 第5题图 A．
B．
C．16cm3 D．
5．已知函数f(x)?2sin(?x??)(??0,|?|??)的部分图象如图所示，且A(?2,1),B(?,?1)，则?的值为
（ ）
A．5?6
B．
?6 C．??6 D．?5?6 6.的内角的对边分别为．若
成等比数列，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
7．不等式a2?3a?x?3?bx?4（其中b??0,1?）对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．???,?1????4,??? B．??1,4? C．?1,2?
D．???,?1????2,???
8．已知函数f?x?????x2?4ax?3?x?1??在x??2?3a?x?1?x?1??R内单调递减，则的取值范围是( ).
A．??0,1??1?2?2??
B．??2,2?3?? C．??3,1??? D．?1,??? 9．已知x?0，y?0，lg2x?lg8y?lg2，则11x?3y的最小值是（ ）
A．2
B．22
C．3 D．4
10．平面内有三个向量
，其中与
夹角为120°，
与
的夹角为30°，且
，若
，（λ，μ∈R）则（ ）
A．λ=4，μ=2 B．
C．
D．
11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形
且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA?平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD?2，ED?1，
若鳖臑P?ADE的外接球的体积为714?3，则阳马P?ABCD的外接球的表面积等于
第10题图 第11题图 第12
题图
A．18π B．17π C.16π D.15π
12.．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（ ）
A．（0，
] B．（
，2] C．（
，2
] D．（2，4]
二、填空题
13．已知函数f(x)?2asin(π?x??)???a?0,??0,??π?2??，直线y?a与f(x)的图象的相邻两个
交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a,2a]；
②在[2,4]上，当且仅当x?3时函数取最大值；
③该函数的最小正周期可以是83； ④f(x)的图象可能过原点．
其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号）
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. 求Sn_________
15．数列?a1，以后各项由公式a2n?中，a1?1?a2?a3?...?an?n给出，则a3?a5等于_____.
16．已知p:2x2?3x?1?0，q:x2?(2a?1)x?a(a?1)≤0．若?p是?q的必要不充分条件，则实数
a的取值范围是__．
三、解答题
17．已知函数f(x)?3sin?x?cos?x?cos2?x?b?1． （1）若函数f(x)的图象关于直线x??6
对称，且???0,3?，求函数f(x)的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当x???0,7???12??时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
18．如图，在直角梯形??CD中，??//CD，????D，且????D?12CD?1．现以?D为一边向梯形外作矩形?D?F，然后沿边?D将矩形?D?F翻折，使平面?D?F与平面??CD垂直．
（1）求证：?C?平面?D?；
（2）若点D到平面??C的距离为63，求三棱锥F??D?的体积．
19．．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 20．在直角梯形PBCD中，?D??C??2,BC?CD?2,PD?4,A为PD的中点，如图．将△PAB沿
AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且SE?13SD，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．
21．已知以a1为首项的数列?an?满足：an?1?an?1（n?N*）. （1）当a1??13时，且?1?an?0，写出a2、a3； （2）若数列?an?（1?n?10，n?N*）是公差为?1的等差数列，求a1的取值范围；
22已知函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)．
(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当0 应届数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B D C B C D C B A 13．④ 14．Sn?n2?8n15． 6116 16．?1?? ?0,2?? 17．.试题解析： （1）函数f?x??3sin?xcos?x?cos2?x?b?1 ?sin???2?x???6???32?b，......................2分 ∵函数f?x?的图象关于直线x??6对称， ∴2????6?6?k???2，k?Z且???0,3?，∴??1（k?Z），. 由2k????2?2x??6?2k???2解得k??3?x?k???6（k?Z），.....................4分函数f?x?的单调增区间为?????k??3,k???6??（k?Z）．.....................5分 （2）由（1）知f?x??sin????3?2?x?6???2?b， ∵x???7???0,12??，∴2x????4??6???6,3??， ∴2x??6?????6,??2??，即x????0,??6??函数f?x?单调递增； 2x??6????4????7???2,3??，即x???6,12??函数f?x?单调递减．.....................7分 又f?0??f????????7???3??，∴当f??3???0 ?f??12??或f?????6???0时，函数f?x?有且只有一个零点， 即sin4?3??b?35?32?sin6或1?2?b?0， ∴b???3?3???2,?2???5?????2??．............................................10分 18.（1）见解析；（2）16． 解析：（1）证明：在矩形?D?F中，?D??D 因为面?D?F?面??CD， 所以?D?面??CD，所以?D??C 又在直角梯形??CD中，????D?1，CD?2，??DC?45，所以?C?2， 在??CD中，?D??C?2，CD?2，.........................................4分 所以：?D2??C2?CD2 所以：?C??D， 所以：?C?面?D?...................................................6分 ?C? （2）由（1）得：面D???面， 作D????于?，则D??面?C? 所以：D??63.........................................8分 在??D?中，?D?D?????D? 即：2?D??63?D?2?2?，解得D??1 所以：V111F??D??V???FD?3?2?1?6........................................12分 解 (1)由2x＋8y－xy＝0，得8＋2 ＝1，又x>0，y>0， 19. xy则1＝88x＋2y≥2x·2y＝8xy，得xy≥64， 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分 (2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝ 8yy－2 ， 因为x>0，所以y>2， 则x＋y＝y＋8yy－2＝(y－2)＋16 y－2＋10≥18， 当且仅当y－2＝16 y－2 ，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12 分 解法二：由2x＋8y－xy＝0，得82 x＋y＝1， 则x＋y＝??8＋2??·(x＋y)＝10＋2x8y2x?xy? y＋x≥10＋2y·8yx＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成 立．.........................................12分 （Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 20. 【解析】 试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分