内容发布更新时间 : 2024/6/4 0:45:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

由csinB=bcosC-π

√3

6及正弦定理得sinCsinB=sinB2

cosC+12sinC.

因为sinB>0,

化简得1√32sinC-2cosC=0,即tanC=√3. 因为0

3.

(2)由余弦定理得c2=a2+b2

-2abcosπ

2

3=3b, 所以a2

=b2

+c2

,故A=π

2, 即△ABC是直角三角形.

由(1)知△ACD是等边三角形,且AD=CD=AC=1,∠CAD=π

3,DE=2,所以AE=3.在△ACE中,CE2

=AE2

+AC2-2AE·ACcosπ

3=7,CE=√7, 故E,C两点的距离为√7.

3.(2019江苏南通通州高三调研)已知函数f(x)=sin xcos x+√3sin 2

x-√32

.

(1)若x∈0,π

2,求函数f(x)的值域;

(2)在△ABC中,已知C为锐角,f??1π

2

=-2,AB=3,A=4,求边BC的长.

解 (1)f(x)=sinxcosx+√3sin2x-√3

=1

sin2x+√

3(1-cos2??)

3

22

2

?

√2

=sin2x-π

3.

∵x∈0,π

2,

∴2x-π

π2π

3∈-3,

3

,

∴-√32≤sin2x-π

3≤1,

6

即函数f(x)的值域是-√3

2,1.

(2)由(1)可知f??1π

2

=-2=sinC-3.

∵C为锐角,∴C-π

-ππ

3∈3,

6

,

易知C-π

π

π

3

=-6

,可得C=6

.

在△ABC中,AB=3,A=π

4

, 由正弦定理,可得????????sin??=sin??, 即

3

sin

π=

????,解得BC=3√2.

6

sin

π4

4.

如图,在平面四边形ABCD中,AB=2√3,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度; (2)若∠ADB=30°,求tan θ. 解 (1)由题意可知,AD=1.

在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2√3,AD=1,由余弦定理可知,

BD2=(2√3)2+12-2×2√3×1×-√3

2=19,BD=√19.

(2)由题意可知,AD=2cosθ,∠ABD=60°-θ, 在△ABD中,由正弦定理可知,????????sin∠??????=sin∠??????,

7

∴2cos??2

sin(60°-??)=4√3,∴tanθ=3√3.

5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B. (1)求证:a2

=b(b+c);

(2)若△ABC的面积为1

a2

4

,求B的大小.

(1)证明 由A=2B,可得sinA=sin2B=2sinBcosB,

又由正、余弦定理得a=2b·

??2+??2-??22????,有(c-b)(a2-b2

-bc)=0.当b≠c时,a2-b2-bc=0,即a2=b2

+bc=b(b+c). 当b=c时,B=C.又A=2B,

∴A=90°,B=C=45°.

∴a=√2b,∴a2-b2-bc=(√2b)2-b2-b·b=0, ∴a2=b2+bc.

综上,当A=2B时,a2

=b2

+bc.

(2)解 ∵S11

△ABC=2acsinB=4a2

,

∴csinB=1

2a,

∴sinCsinB=1

2sinA.

又A=2B,∴sinCsinB=sinBcosB.

∵sinB≠0,∴sinC=cosB.

8

又B,C∈(0,π),∴C=π

2

±B.

当B+C=π??π

2时,B=2=4; 当C-B=π

时,B=π

2

8

; ∴B=ππ

4或B=8.

6.在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B为锐角,且acos B+bsin B=c.(1)求角C.

(2)若B=π3,延长线段AB至D,使得CD=√3,且△ACD的面积为3

4√3,求线段BD的长度. 解 (1)由正弦定理可知sinAcosB+sin2

B=sinC.

∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sin2B=cosAsinB.

∴B∈0,π

2,sinB>0,

∴sinB=cosA,即cosπ2

-B=cosA.

∴A∈(0,π),ππ

2-B∈0,2, ∴π

π

π

2-B=A,即A+B=2.∴C=2.

(2)设BD=x,CB=a.

∵∠ABC=ππ

3,∠ACB=2, ∴AC=√3a,AB=2a,AD=2a+x.

∴S1

△ACD=2AC·AD·sinA

9

=2×√3a×(2a+x)×2=4√3, 即a(2a+x)=3.

在△BCD中,由余弦定理可得

113

①

CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC,

即x+a+ax=3.

联立①②可解得x=a=1.即BD=1.

2

2

②

命题角度2解三角形中的最值与范围问题

高考真题体验·对方向

??+??2

(2019全国Ⅲ·18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 解 (1)由题设及正弦定理得

sinAsin

??+??2

=bsin A.

=sinBsinA.

??+??2

因为sinA≠0,所以sin=sinB. =cos2,

??由A+B+C=180°,可得sin故cos2=2sin2cos2.

????????+??2

因为cos2≠0,故sin2=2,因此B=60°.

????1

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=4a.

10

√3