内容发布更新时间 : 2024/11/19 3:42:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《探索与表达规律》

◆ 教学过程 情境1：一首永远也唱不完的儿歌.

1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水； 2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水； 3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水； ……

这样唱下去我们能唱完吗？ 能否用一种方式结束这首儿歌？利用刚学过的字母表示数进行数学建模，可以用一句话来概括“n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，n声扑通跳下水”。

情境2：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣，每天给它脱一件，年底只剩一张皮.” 日历在我们生活中随处可见，它不仅让我们可以很直观地观察出我们需要的数据，其中还蕴涵着很多的数学知识。

（1）我们经常用到的日历中的数字之间都有哪些关系呢？

（2）日历上方框中的9个数字之和与方框正中间和数字有什么关系？ （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（提示：用a表示方框中间的数，用合并同类项的知识解决问题）

通过观察日历中的数字，我们不难发现其中的规律：（1）相邻的两个数字后者比前者大1，下者总比上者大7；（2）一方框中的9个数字之和是中间数的9倍；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立。

[开眼界]

探索规律不仅是去探索和发现数学规律，更主要的是经历从特殊到一般，从一般到特殊这种探索规律、验证规律的过程，了解从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。在用去括号、合并同类项等知识的同时，可适当了解以下知识。

【杨辉三角】观察杨辉三角图，寻找其中的规律。 【几个求和公式】

1?2?3????n?n(n?1)； 21?3?5????(2n?1)?n2；

2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)；

12?22?32????n2?n(n?1)(2n?1).

6[经典例析]

例1 观察一列数表：根据数表所反映的规律，猜想第6行 与第6列的交叉点上的数应为_______，第n行与第n列的交叉 点上的数应为_______（用含有正整数n的的代数式表示）．

点拨：通过观察不难发现第n行的第一个数为n，在第n行中， 后一个数比前一个数大1，因此第6行的第6个数应该是6+6-1=11， 第n行的第n个数应该是n+n-1=2n-1.

解：11 2n-1

评析：通过观察给出的一系列数找出它们的规律或探索它们之间的数量关系，再用数学方法给予证明（即用代数式表示其关系）是探索规律的常见题型。解决这类问题的一般方法是：“观察、归纳、猜想、验证”。另外要注意的是并非题目中都要告诉什么是行，什么是列，这是生活中的基本常识，要求能分得清楚。

例2 （2011年·安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：

当n = 2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；

当n = 3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，

1 2 3 4 …… 第一行 2 3 4 5 …… 第二行 3 4 5 6 …… 第三行 4 5 6 7 …… 第四行 ············第第一二列列 第第三四列列 2，2，5，22五种，比n = 2时增加了3种，即S = 2 + 3 = 5。

(1) 观察图形，填写下表：

钉子数(n×n) 2×2 3×3 4×4 5×5 S值 2 2 + 3 2 ＋ 3 ＋ ( ) ( ) (2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)

(3) 对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。

点拨:在观察规律时可用“覆盖法”，即n = k时包含了n = k － 1时的所有情况，如n = 3时，S = 2 + 3，当n = 4时,我们仅需考虑在n = 3的基础上增加了几条不同长度的线段，显然由图形易得此时S = 2 + 3 + 4，以此类推。

解：（1）4 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5（或14） （2）类似以下答案均可：①n×n的钉

子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；②分别用a、b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a = b ＋ n. （3）S = 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ n.

评析：对于刚入初一的同学来说，还不能算出不同线段的具体长度，但可以通过图形直观地感受出线段的长短，再从图形的变化中探索其中的规律.

例3 根据以下10个乘积，回答问题.

11×29 12×28 13×27 14×26 15×25 16×24 17×23 18×22 19×21 20×20

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

点拨：本题有一定难度，对学生的基本能力和发散思维要求较高。第一问不能简单地去猜想，更不能逐个算出结果再找规律，首先应该观察到每组算式中两个因数的和为常数40，这一点有助于第三问总结一般性结论，然后借助于平方差公式计算出对应的□和○，其实第一问的答案并不唯一，比如12×28＝202－82=312－252……,不过我们尽可能让写出的式子形式一致。第二问其实就是简单的计算和大小比较，比较的结果有助于第三问。第三问的实质

m?是总结出一般结论：a,b为正数，若a＋b＝m（定值），则ab≤???（当且仅当a=b时取等

?2?2号），且a,b的差的绝对值越小时，它们的积越大，当a=b时它们的积最大。

解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29=□2－○2， 因为□2－○2=（□＋○）（□－○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．解得，□＝20，○＝9．故11?29?202?92． （或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92 ．

⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 11?29?12?28?13?27?14?26?15?25?16?24?17?23?18?22?19?21?20?20．

⑶ ① 若a?b?40，a，b是自然数，则ab≤202＝400． ② 若a＋b＝40，则ab≤202＝400．

m?③ 若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤???．

?2?m? ④ 若a＋b＝m，则ab≤???．

?2?22⑤ 若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝40． 且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|， 则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．

⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝m．