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【创新方案】2017届高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节

坐标系课后作业 理 选修4-4

1．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．

π??2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos?θ－?上任意两点间的距离的最大值． 3??

π?π?3??3．在极坐标系中，已知圆C经过点P?2，?，圆心为直线ρsin?θ－?＝－与4?3?2??极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

π??θ－4．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ－22ρcos??＝2.

4??

2

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

?π?5．(2016·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为?2，?. 3??

(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．

1 / 4

π?π???6．已知直线l：ρsin?θ－?＝4和圆C：ρ＝2kcos?θ＋?(k≠0)，若直线l上的4?4???点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．

答 案

1．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x－y＝2，即y＝3x－2.

ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，

把y＝3x－2代入x＋y＝4y，

得4x－83x＋12＝0，即x－23x＋3＝0， 所以x＝3，y＝1.

2

2

2

2

?π?所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为?2，?.

6??

π?3?1??2

2．解：由ρ＝4cos?θ－?可得ρ＝4ρ?cos θ＋sin θ?＝2ρcos θ＋23

3??2?2?

ρsin θ，即得x2＋y2＝2x＋23y，配方可得(x－1)2＋(y－3)2＝4，该圆的半径为2，则

圆上任意两点间距离的最大值为4.

π?3?3．解：在ρsin?θ－?＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)． 3?2?π??因为圆C经过点P?2，?， 4??所以圆C的半径PC＝

2

2

π2

＋1－2×1×2cos＝1，于是圆C过极点，所以圆

4

C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

4．解：(1)由ρ＝2知ρ＝4，所以x＋y＝4； π??2

因为ρ－22ρcos?θ－?＝2，

4??

ππ??2

所以ρ－22ρ?cos θcos＋sin θsin ?＝2，

44??所以x＋y－2x－2y－2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， π?2?即ρsin?θ＋?＝. 4?2?

ππ

5．解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.

33

2 / 4

2

2

2

2

2

π2

由余弦定理得，4＋ρ－4ρcosθ－＝4，

3

∴圆C的极坐标方程为

ρ＝4cos?θ－?.

3

??

π?

?

作图如图所示．

(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，3＋2sin α)，

又令M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，

6＋2cos αx＝，??2

的轨迹的参数方程为?2sin αy＝??2

得点M

(α为参数)，即

??x＝3＋cos α，

?

?y＝sin α?

(α为参数)，

2

2

∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)＋y＝1. 6．解：∵ρ＝2kcos θ－2ksin θ， ∴ρ＝2kρcos θ－2kρsin θ，

∴圆C的直角坐标方程为x＋y－2kx＋2ky＝0， 即?x－2

2

2

?

?2?2?2?22

k?＋?y＋k?＝k， 2??2?

2??2

k，－k?.

2??2

∴圆心的直角坐标为?∵ρsin θ·22

－ρcos θ·＝4， 22

∴直线l的直角坐标方程为x－y＋42＝0， 2?2?

?k＋k＋42?

2?2?

2

∴－|k|＝2.

即|k＋4|＝2＋|k|， 两边平方，得|k|＝2k＋3，

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