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哈工大 2012年秋季学期

概率论与数理统计 试题

一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设事件A、B相互独立，事件B、C互不相容，事件A与C不能同时发生，且

P(A)?P(B)?0.5，P(C)?0.2，则事件A，B和C中仅C发生或仅C不发生的概

率为__________ ．

2．设随机变量X服从参数为2的指数分布， 则Y?1?e?2X的概率密度为

fY(y)?______ ____．

?3．设随机变量X的概率密度为f(x)??1?2x2e?x,x?0，利用契比雪夫不等式估计概率

??0, x?0P(1?X?5)?______．

4．已知铝的概率密度X~N(?,?2)，测量了9次，得x?2.705，s?0.029，在置信度0.95下，?的置信区间为______ ____．

5．设二维随机变量(X,Y)服从区域G?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}上的均匀分布，令

Z?min(X,Y)，W?max(X,Y), 则P(Z?W?1)= ．

（t0.025(8)?2?3060,t0.05(8)?1?8595,t0.05(9)?1.8331,t0.025(9)?2.2622

??1.96??0.975，??1.645??0.95)

二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）

（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）

1．设0?P(A)?1, 0?P(B)?1, P(BA)?P(B)，则与上式不等价的是

（A）A与B不相容. （B）P(BA)?P(BA).

（C）P(AB)?P(A). （D）P(AB)?P(A)． 【 】 1

2．设总体X服从参数为?的泊松分布，X1,X2, ,Xn是来自X的样本，X为样本均值，

则 （A）EX? （C）EX?1?，DX??1DX?． （B）． EX??,nn?2?n,DX??n2． （D）EX??,DX?1． 【 】 n?3．设随机变量X的概率密度为f(x)?? （A）

?2x, 0?x?1，则P(X?EX?2DX)等于

?0, 其他9?826-826?426?42. （B）. （C）. （D）． 【 】 99994．如下四个函数，能作为随机变量X概率密度函数的是

x??1?0,?5?17??,x?0 （A）f(x)??1?x2. （B）f(x)??x?,?1?x?1.

16?x?0?16?0,??0, x?1?1?e?x,x?01?x （C）f(x)?e,x?R.. （D）f(x)?? . 【 】

2x?0?0,5．设X1,X2,,Xn为来自总体X~N(?,?2)的一个样本，统计量Y?21S()2 nX?? 其中X为样本均值，S为样本方差，则 【 】 三、（8分）假设某段时间内来到百货公司的顾客数服从参数为?的Poisson分布，而在百货

公司里每个顾客购买电视机的概率均为p，且顾客之间是否购买电视机相互独立，试求A?“该段时间内百货公司售出k台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。

2 （A）Y~x(n?1)（B）Y~t(n?1)（C）Y~F(n?1,1) （D）Y~F(1,n?1)．

四、（8分）设随机变量X~U?0,1?，求（1）Y?X?4X?1的概率密度

2（2）XfY(y)；

与Y的相关系数?XY.

五、（8分）设随机变量X和Y的分布列分别为

X 0 1 Y —1 0 1

P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3

2

且P(X2?Y2)?1 ，求（1）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（2）Z?XY的概率分布；（3）X与Y的相关系数?XY

.

六、（12分）设随机变量X与Y相互独立,且分别服从正态分布N(?,?2)和N(?,2?2),其

2中?为未知参数且??0. 记Z?X?Y.（1）求Z的概率密度f(z;?)；（2）设

Z1,Z2,,Zn为来自总体Z的简单随机样本, 求?的最大似然估计?;（3）证明?2是

2?2??2的无偏估计量。

七、（4分）在x轴上的一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记Sn为时刻n时质点的位置。若在时刻t?0时，处于初始位置为原点，即S0?0，它移动的规则：每隔单位时间，它总是收到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率p及概率。求质点在时q?1?p向正的或负的方向移动一个单位（直线上无限制的随机游动）刻n时处于位置k的概率，即求P(Sn

3

?k).