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日照实验高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题2

（第二轮 考试时间60分钟，满分100分） （）

班级 姓名 得分

一、选择题（每题６分，36分）

1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ） （A）16 （B）15 （C）8 （D）7

1111)(1?)(1?)(1?)等于( ). 22222391051117(A) (B) (C) (D) 1222010２．乘积(1?3 ．某公司从2001年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是 （ ） （A）2年（B）3年（C）4年（D）5年 4.若F(

项 目 基础工资 住房补贴 医 疗 费 计算方法 2003年1万元，以后每年逐增10% 按工龄计算：400元×工龄 每年1600元固定不变 1?x)=x则下列等式正确的是（ ）. 1?x1?x-1

（A）F(-2-x)=-1-F(x)（B）F(-x)=（C）F(x)=F(x)（D）F（F（x））=-x

1?x5．已知a、b、c是实数，条件p:abc?0；条件q:a?0，则p是q的（ ） (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件

6．已知四边形ABCD在映射f：(x,y)→(x?1,y?2)作用下的象集为四边形A?B?C?D?。四边形ABCD的面积等于6，则四边形A?B?C?D?的面积等于（ ） A．9 B．62 C．43 二、填空题（每题5分，25分）

D．6

7．如果{a2,2}?{1,2,3,2a?4}?{6a?a2?6}，则a的值是 。 8. Let f be a function such that

f(x?y2)?f(x)?2(f(y))2 for any real numbers x

and y, and f(1)?0, then f(2005) is equal to _____________.

9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A、B、C、D、E，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A、B、C、D分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E被读了______次。

10.已知函数

?1,x为有理数，?0,x为有理数，当f(x)??g(x)???0，x为无理数.?1，x为无理数.x?R时，

f?g?x???_______,g??fx_??? ___.___11. 方程x2?2x?3(|x?1|?1)的根是__________________.

三、解答题（39分）

12. 在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数的积、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.（9分） 13.已知x，y，z是实数，a≥0且满足①x+y+z=a，②x?y?z?求证：0≤x≤

14.已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3α,BC=CD=DE，且∠BCO=∠CDE=180°-2α，求证：

∠BAC=∠CAD=∠DAE.（10分）

22212a. 2222a, 0≤y≤a, 0≤z≤a.（10分） 333A

15. 某种绘图装置可沿横、纵、斜方向以每秒1cm的速度

移动，该装置可在纸面上描出线来，也可以离开纸面在空中运行．现用这个装置绘制右边的图形，问至少要用几秒？图中各角均系直角，该装置离开纸面的时间略而不计．（1995年日本数学奥林匹克预选赛题2）（10分）

BCED

参考解答

一、选择题:ACCBAD 二、填空题

7.2或4 8. 2005.5 9. 1，5 10. f[g(x]?1 g[f(x)]?0

11.2或3或0或－1 三、解答题

12.解（1）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3+(-3)+4=4.

(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为: 1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=－14.

(3).任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-－56. （4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：

1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3 ×（-3）+1×（-1）×3×（-3）= 49；

1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=196 1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=－36；

1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=－144. 所以，所求的和为-1.

法2 （1+a）(1+b)(1+c)…（1+g）＝1＋（a＋b+c+…＋g）＋（ab＋bc＋…＋fg）＋…＋abc…g，取a＝－1，b＝－2，…，g＝4得（a＋b+c+…＋g）＋（ab＋bc＋…＋fg）＋…＋abc…g＝－1

13.证明 由①得z=a-x-y，代入②整理得4y2?4(x?a)y?(4x2?4ax?a2)?0. 此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△=16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0??16x(3x?2a)≥0?0≤x≤

22

法2：（z－a）＝（x＋y），x?y?22222a.同理可证：0≤y≤a，0≤z≤a

3331222222

a?z2，由柯西不等式（x＋y）≤(1?1)(x?y) 2122222（z－a）2≤2(a?z), ∴3z2－2az≤0，a≥0 ∴0≤z≤a同理0≤x≤a, 0≤y≤a.

233314.证明 连结BD、CE. ∵BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE，∴△BCD≌△CDE.

又∠BCD=180°-2α,∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=α, ∠CDE ＝180°-3α ∴∠CDE＋∠CAE=180°-3α+3α＝180°

∴A、C、D、E四点共圆，同理A、C、D、B四点共圆.由于过A、C、D有且只有一个圆，∴A、B、C、D、E共圆. ∵BC=CD=DE ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=α. 15解 当图形成一笔画时用时最少．但上图有4个奇顶点，要使之成为一笔画，须用一条线段连接其中两个奇顶点．显然，用线段将AB连接，则由C开始到D结束构成一笔画图形，其中该装置在A到B部分离开纸面，这样用时最少，总共须用12+2秒.