内容发布更新时间 : 2024/12/25 10:44:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
考点07 二次函数与幂函数
1、如果方程x+(2m-1)x+4-2m=0的一根大于2,一根小于2,那么实数m的取值范围是____. 【答案】(-∞,-3)
【解析】设f(x)=x+(2m-1)x+4-2m,由题意得,
??Δ=(2m-1)-4(4-2m)>0,? ?f(2)=4+2(2m-1)+4-2m<0,?
2
2
2
53??m<-或m>,22 解得???m<-3,
所以m<-3,故实数m的取值范围是(-∞,-3).
?1?n
2、 若幂函数y=mx(m,n∈R)的图象经过点?8,?,则n=___.
?4?
2
【答案】- 3
m=1,??
【解析】由题意可得?n1
8=,?4?
22
解得n=-,故n的值为-. 33
3、已知f(x)=ax+bx+3a+b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a,b的值为____. 1
【答案】,0
3
【解析】由题意得,f(-x)=f(x),即ax-bx+3a+b=ax+bx+3a+b,即2bx=0对任意x恒成立,所11
以b=0.又因为a-1=-2a,解得a=,所以a,b的值分别为,0.
334、函数y=-x+2|x|+3的单调减区间是____.
2
2
2
2
【答案】[-1,0]和[1,+∞) 【解析】令f(x)=-x+2|x|+3,
?-x+2x+3,x≥0,?
所以f(x)=?2
?-x-2x+3, x<0,???-(x-1)+4,x≥0,
即f(x)=? 2
?-(x+1)+4, x<0,?
2
2
2
所以当x≥0时,函数f(x)的减区间为(1,+∞);当x<0时,函数f(x)的减区间为(-1,0),故单调减区间为(-1,0)和(1,+∞).
5、若函数f(x)=x-2x+1在区间[a,a+2]上的最大值为4,则a的值为____.
2
【答案】-1或1
【解析】由题意得,f(x)=x-2x+1=(x-1),对称轴为直线x=1.当a≥0时,f(a+2)=4,即(a+2)-2(a+2)+1=4,解得a=1或a=-3(舍去);
当a<0时,f(a)=4,即a-2a+1=4,解得a=-1或a=3(舍去). 综上,a的值为1或-1.
6、 若不等式x+2x+a-a-2≥0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是___. 【答案】(-∞,-1]∪[2,+∞)
【解析】由题意得x+2x+a-a-2≥0,即(x+1)≥-a+a+3,所以-a+a+3≤1,解得a≥2或a≤-1,
所以实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).
??1α
7、设α∈?-1,,1,2,3?,则使函数y=x为奇函数且定义域为R的所有α的值为____.
2??
4
2
2
2
2
2
2
4
2
22
2
2
2
【答案】1,3
1
1
【解析】当α=-1时,y=x=,此时函数的定义域为{x|x≠0},不符合题意;当α=时,y=x2=
x2
-1
1
x,此时函数的定义域为[0,+∞),不符合题意;当α=1时,y=x,此时函数的定义域为R,且是奇函
数,符合题意;当α=2时,y=x,此时函数的定义域为R,是偶函数,不符合题意;当α=3时,y=
2
x3,此时函数的定义域为R,且为奇函数,符合题意,综上α的值为1和3.
8、求函数f(x)=x-2ax+2(x∈[2,4])的最小值. 6-4a, a<2,??2
【答案】f(x)min=?2-a, 2≤a≤4,
??18-8a, a>4.
【解析】f(x)图象的对称轴是直线x=a,可分以下三种情况: ①当a<2时,f(x)在[2,4]上为增函数,所以f(x)min=f(2)=6-4a; ②当2≤a≤4时,f(x)min=f(a)=2-a;
③当a>4时,f(x)在[2,4]上为减函数,所以f(x)min=f(4)=18-8a. 6-4a, a<2,??2
综上所述,f(x)min=?2-a, 2≤a≤4,
??18-8a, a>4.
9、已知函数f(x)=x-2x+2(x∈[t,t+1])的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
2
2
2
t+1, t<0,??
【答案】g(t)=?1, 0≤t≤1,
??t2-2t+2, t>1.【解析】由题意得,f(x)=(x-1)+1.
①当t+1<1,即t<0时,g(t)=f(t+1)=t+1; ②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=1; ③当t>1时,g(t)=f(t)=t-2t+2. t+1, t<0,??
综上所述,g(t)=?1, 0≤t≤1,
??t2-2t+2, t>1.
1??10、若点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,点?-2,?在幂函数g(x)的图象上,定义
4??
??f(x),f(x)≤g(x),
h(x)=?试求函数h(x)的最大值以及单调区间.
?g(x), f(x)>g(x).?
2
2
2
2
2
【答案】1 单调增区间为(-∞,-1)和(0,1);单调减区间为(-1,0)和(1,+∞). 【解析】求f(x),g(x)解析式及作出f(x),g(x)的图象同例1,如例1图所示,
??x,x<-1或x>1,则有h(x)=?2
?x, -1≤x≤1且x≠0.?
-2
根据图象可知函数h(x)的最大值为1,
单调增区间为(-∞,-1)和(0,1);单调减区间为(-1,0)和(1,+∞).
?1?11、已知幂函数f(x)的图象过点(2,2),幂函数g(x)的图象过点?2,?.
?4?
(1) 求函数f(x),g(x)的解析式;
(2) 求当x为何值时:①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x) 【答案】(1) g(x)=x (2) ①当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);②当x=1或x=-1时,f(x)=g(x); ③当-1 因为图象过点(2,2),故2=(2),解得α=2, 所以f(x)=x. 2 α α-2 ?1?β 设g(x)=x,因为图象过点?2,?, ?4? 1β-2 所以=2,解得β=-2,所以g(x)=x. 4