内容发布更新时间 : 2024/11/16 7:43:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十一讲 数论之同余（选讲）

一、 余数定理：若A?x余a，B?x余b，则有

① ?A?B??x的余数=?a?b??x的余数；

② 当A?B,a?b时，?A?B??x的余数=?a?b??x的余数； ③ 当A?B,a?b时，?A?B??x的余数=?x?a?b??x的余数； ④ ???A?B???a?b????x的余数为0；

⑤ 若a、b相等，则?A?B??x的余数为0

【例 1】

一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？

【巩固】

2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．

【例 2】

求437?309?1993被7除的余数．

【巩固】

一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是多少？

【例 3】

22003与20032的和除以7的余数是多少？

【巩固】

22008?20082除以7的余数是多少？

1

【例 4】

777???77除以41的余数是多少？

1997个7

【巩固】

已知a?200820082008，问：a除以13所得的余数是多少？

2008个2008

若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同

且为两位数，除数和余数的和是多少？

【巩固】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整

数是多少？

【例 5】 【例 6】

六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华

书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词

典》的定价是多少元？

【巩固】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中

的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是多少千克？

【例 7】 著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第

2

2013个数除以3所得的余数为多少？

【巩固】 有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，

从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2013个数除以6，得到的余数是 ．

【例 8】 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，

排成6排多5人，问上体育课的同学最少有多少人？

【巩固】 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，

则这个数最小是多少？

【例 9】 将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”。

删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是多少？

【巩固】 30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色…的次序串成一圈，一只蚂

蚱从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上，这只蚂蚱至少要跳 次才能落到黑珠子上？

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