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初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿

中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就2012年德州市数学中考第23题第2问进行讲评。

中考题 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

1.审题分析

本题涉及的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质。本题通过翻折将全等变换，相似构造，勾股定理运用，融进正方形，不失一道好的压轴题，很值得推敲。由于此图形是正方形，因此里面隐含着很多直角，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是0.19。

2.解题过程

同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。

思路与解法一：从线段AD上有三个直角这一条件出发，运用“一线三角两相似”这一规律（见课件），可将条件集中到△EAP与△PDH上，通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解决。

解法如下：

答：?PDH的周长不变，为定值8．

证明：设BE?a,则AE?4?a，有折叠可知PE?BE?a，

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AEPDHGFCB图1?AP?22a?4,PD?4?22a?4，??EPG?900,??APE??DPH?900.

又??PHD??DPH?900,??APE??PHD 又??A??D?900,??AEP～?PDH.??AEP的周长AE?

?PDH的周长PD即

4?22a?44?a?.

?PDH的周长4?22a?432?8a?8. 4?a??PDH的周长=

评析 这种解法用的是设而不求的方法，这也是解决几何问题的常规解法之一，解题过程中运用了勾股定理、相似，使解题思路明确，计算过程简洁。

思路与解法二：求△PDH的周长，因为PD、DH都在正方形的边上，所以需要将PH转化到正方形的边上进行解决，因此利用辅助线构造三角形全等进行转化。

解法如下：

答：△PDH的周长不变，为定值8． 证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知?APB=?BPH，又??A??BQP?900,BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP, AB=BQ．又∵ AB=BC，∴BC = BQ． 又??C??BQH?90,BH=BH，∴△ BCH≌△BQH．∴CH=QH． ∴△PDH的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

评析 这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化，利用三角形全等的知识，得出线段PH?PQ?PH?AP?CH,把分散的问题集中到已知条件上来，从而做到了化未知为已知，使问题迎刃而解。

3.总结提升：

在原题的条件下，还可得以下结论： ⑴求证：?PBH?450； ⑵求证：S?PBH?S?ABP?S?BCH； ⑶当PH?m时，则S?DHP?16?4m。 证明略。

评析 拓展提升题有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高。

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0AEPQDHGFCB图2逆向探究：如图1，现有一张边长为4的正方形ABCD纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．?DHP的周长为8.求?BPH面积的最小值。 解： 设?BPH的面积为S,PD?x,DH?y,则AP?4?x,CH?4?y,

S正方形ABCD?2S?BPH?S?DHP.

?16?2S?1xy. 2?HP?AP?CH,?HP?(4?x)?(4?y)?8?x?y.

由勾股定理得HP2?DP2?DH2, 即(8?x?y)2?x2?y2. 整理得y?8x?32. x?818x?32?16?2S?x?.

2x?8化简得2x2?(S?16)x?(64?8S)?0.

???(S?16)2?8(64?8S)?0.

S2?32S?256?0.

?S?162?16或S??162?16(舍去)。

?S?162?16.

?S的最小值为162?16.

评析 加强逆向思维的训练，可改变思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充分发挥学生的思考能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。

像以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。

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