内容发布更新时间 : 2024/9/20 8:38:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

正项级数审敛法的比较与应用

1. 引言

正项级数作为数学分析中重要内容之一是我们必须要掌握的知识。因其有着几百年发展的历史，正项级数理论也已经很成熟。我们在课本中已经学习了很多种判断正项级数敛散性的法方法，但在具体的解题过程时往往不知道该选用哪种判断方法较为适宜。也就是说，不同的正项级数敛散性判断方法都有其局限性，每个正项级数定理运用在不同的题目上时会有其优缺点。那么我们在解决具体正项级数敛散性题目时到底该选用哪种方法合适呢？这是本文所讨论的。

2正项级数的相关概念 2.1定义

如果级数 ????的各项都是非负实数，即

????>0,??=1,2?

则称此级数为正项级数。

1. 1.2正项级数的收敛原理

正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。若正项级数的部分和数列无上届，则其必发散到+∞。

2. 2正项级数收敛判定定理

2.

2.1比较判别法

2.1.1比较判别法定理

设 ????和 ????是两个正项级数，如果存在某正数??，对一切??>??都有

????≤????,

若级数 ????收敛，则级数 ????收敛 若级数 ????发散，则级数 ????发散

2.1.2比较判别法的应用

例1判断 ??2+2??+2的收敛性

1

解因为

11

<

??2+2??+2??2而由级数的柯西准则可知 ??2中 ????+1+????+2+?+????+??

111=++?+ (??+1)2(??+2)2(??+??)2111<++?+ ??+???1 ??+?? ?? ??+1 ??+1 ??+2 <1/??

因此，对任给正数??，取??=[],使当??>??及对任意正整数??,由上式有

??11

????+1+????+2+?+????+?? <

则级数

1??21

1

所以由比较法可知 ??2+2??+2是收敛的。

2.1.3小结

在运用比较判别法判断正向级数收敛时，可考虑运用??级数收敛与发散的结论来简化证明。即

1????

,当0

1????

发散；当??>1时，

1????

收敛。

2.1.4比较判别法推论

设

??1+??2+?+????+?,（1） ??1+??2+?+????+?,（2） 是两个正项级数，若lim??→∞????=??,

??

??

当0

当??=0且级数收敛时（2）收敛时，级数（1）也收敛；

当??=∞且级数（2）发散时，级数（1）也发散。

这里用比较判别发的推论来证明例1 令????=

1??2+2??+2

??

，????=

1??2

??2

因为lim??→∞????=lim??→∞??2+2??+2=1，

??

所以 ????与 ????同时收敛或发散，而由知 例2判断 sin解因为lim??→∞

1√??

1??

2收敛，所以1??2+2??+2

收敛。

是否收敛 =1

1√??

sin

1

√??1√??

由比较判别法推论可知 sin

1

与

1√??

同时收敛。

1

而由??级数结论可知 √??发散，所以 sin√??发散。 2.1.4小结

比较判别法的推论要更为方便些，在判断正项级数敛散性时，如果正项级数的通项公式不方便放缩则可尝试用比较判别法的推论。

3.

2.2比式判别法

2.2.1比式判别法定理

设 ????为正项级数，且存在某正整数??0及常数??(0??0成立不等式

????+1????

≤??,

则级数 ????收敛。

若对一切??>??0成立不等式

????+1????

≥1,

则级数 ????发散。

2.2.1比式判别法推论

若 ????为正项级数且